在上半平面求一条凹曲线(图6．2)，使其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

admin2017-05-31 89

问题在上半平面求一条凹曲线(图6．2)，使其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

选项

答案若将此曲线记为y=y(x)，则依曲率计算公式，并注意曲线凹凸性的假设，即要求y"≥0，故曲率 [*] 又由于过(x，f(x))点的法线方程为X－x+y’(x)[Y－y(x)]=0，它与x轴交点0的横坐标X₀=x+y’(x)y(x)，所以，线段[*]的长度为 [*] 这样，由题设该曲线所满足的微分方程及初始条件为 [*]

解析

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考研数学二

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求下列不定积分：
曲线y＝x2＋2x－3上切线斜率为6的点是[]．
设S表示夹在x轴与曲线y＝F(x)之间的面积．对任何t＞0，S1(t)表示矩形－t≤x≤t，0≤y≤F(t)的面积．求：(1)S(t)＝S—S1(t)的表达式；(2)S(t)的最小值．
把x→0+时的无穷小排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，那么正确的排列顺序是
证明：sinnxcosnxdx=2-nsinnxdx．
设f(t)连续并满足f(t)=cos2t+∫0tf(s)sinsds，求f(t)。

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