在上半平面求一条凹曲线(图6.2),使其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.

admin2017-05-31  74

问题 在上半平面求一条凹曲线(图6.2),使其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.

选项

答案若将此曲线记为y=y(x),则依曲率计算公式,并注意曲线凹凸性的假设,即要求y"≥0,故曲率 [*] 又由于过(x,f(x))点的法线方程为X-x+y’(x)[Y-y(x)]=0,它与x轴交点0的横坐标X0=x+y’(x)y(x),所以,线段[*]的长度为 [*] 这样,由题设该曲线所满足的微分方程及初始条件为 [*]

解析
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