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设A是三阶矩阵,b=[9,18,-18]T,方程组AX=b有通解 k1[-2,1,0]T+k2[2,0,1]T+[1,2,-2]T, 其中k1,k2为任意常数,求A及A100。
设A是三阶矩阵,b=[9,18,-18]T,方程组AX=b有通解 k1[-2,1,0]T+k2[2,0,1]T+[1,2,-2]T, 其中k1,k2为任意常数,求A及A100。
admin
2015-11-16
83
问题
设A是三阶矩阵,b=[9,18,-18]
T
,方程组AX=b有通解
k
1
[-2,1,0]
T
+k
2
[2,0,1]
T
+[1,2,-2]
T
,
其中k
1
,k
2
为任意常数,求A及A
100
。
选项
答案
解 由题设知α
1
=[-2,1,0]
T
与α
2
=[2,0,1]
T
为AX=0的基础解系,即有 Aα
1
=0=0α
1
, Aα
2
=0=0α
2
, 于是0为A的二重特征值,α
1
与α
2
为对应于λ
1
-λ
2
=0的特征向量,又β=[1,2,-2]
T
为其特解,故 Aβ=b, 即[*] 于是λ
3
=9为A的另一个特征值,β为其对应于λ
3
=9的特征向量,易看出α
1
与α
2
线性无关(对应分量不成比例)。 又β与α
1
,α
2
均线性无关,故α
1
,α
2
,β线性无关,所以A有3个线性无关的特征向量,必与对角矩阵A=diag(0,0,9)相似,取P=[α
1
,α
2
,β],则 p
-1
AP=A, [*] 其中η
T
η=9,则 A
2
=A·A=ηη
T
·ηη
T
=η(η
T
η)η
T
=9ηη
T
=9A,…,A
100
=9
99
A。 或 A
100
=(PAP
-1
)
100
=PA
100
p
-1
[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/jFw4777K
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考研数学一
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