设函数Q(x,y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分∫L2xydx+Q(x,y)dy与路径无关,并且对任意t恒有 ∫(0,0)(t,1)2xydx+Q(x,y)dy=∫(0,0)(t,1)2xydx+Q(x,y)dy,求Q(x,y)。

admin2018-05-25  55

问题 设函数Q(x,y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分∫L2xydx+Q(x,y)dy与路径无关,并且对任意t恒有
    ∫(0,0)(t,1)2xydx+Q(x,y)dy=∫(0,0)(t,1)2xydx+Q(x,y)dy,求Q(x,y)。

选项

答案由于曲线积分∫LPdx+Qdy与路径无关,则[*](其中P,Q有连续偏导数),即 [*] 对x积分得Q(x,y)=x2+φ(y),其中φ(y)待定。对于任意的t,则有 ∫(0,0)(t,1)2xydx+[x2+φ(y)]dy=∫(0,0)(t,1)2xydx+[x2+φ(y)]dy。 (*) 下面由此等式求φ(y)。 由于 2xydx+[x2+φ(y)]dy=ydx2+x2dy+φ(y)dy =d(x2y)+d(∫0yφ(s)ds)=d(x2y+∫0yφ(s)ds)。 于是由(*)式得 (x2y+∫0yφ(s)ds)|(0,0)(t,1)=(x2y+∫0yφ(s)ds)|(0,0)(t,1), 即t2+∫01φ(s)dx=t+∫0tφ(s)ds,亦即t2=t+∫1tφ(s)dx。求导得2t=1+φ(t),即φ(t)=2t一1。 因此Q(x,y)=x2+2y一1。

解析
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