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设函数Q(x,y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分∫L2xydx+Q(x,y)dy与路径无关,并且对任意t恒有 ∫(0,0)(t,1)2xydx+Q(x,y)dy=∫(0,0)(t,1)2xydx+Q(x,y)dy,求Q(x,y)。
设函数Q(x,y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分∫L2xydx+Q(x,y)dy与路径无关,并且对任意t恒有 ∫(0,0)(t,1)2xydx+Q(x,y)dy=∫(0,0)(t,1)2xydx+Q(x,y)dy,求Q(x,y)。
admin
2018-05-25
97
问题
设函数Q(x,y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分∫
L
2xydx+Q(x,y)dy与路径无关,并且对任意t恒有
∫
(0,0)
(t,1)
2xydx+Q(x,y)dy=∫
(0,0)
(t,1)
2xydx+Q(x,y)dy,求Q(x,y)。
选项
答案
由于曲线积分∫
L
Pdx+Qdy与路径无关,则[*](其中P,Q有连续偏导数),即 [*] 对x积分得Q(x,y)=x
2
+φ(y),其中φ(y)待定。对于任意的t,则有 ∫
(0,0)
(t,1)
2xydx+[x
2
+φ(y)]dy=∫
(0,0)
(t,1)
2xydx+[x
2
+φ(y)]dy。 (*) 下面由此等式求φ(y)。 由于 2xydx+[x
2
+φ(y)]dy=ydx
2
+x
2
dy+φ(y)dy =d(x
2
y)+d(∫
0
y
φ(s)ds)=d(x
2
y+∫
0
y
φ(s)ds)。 于是由(*)式得 (x
2
y+∫
0
y
φ(s)ds)|
(0,0)
(t,1)
=(x
2
y+∫
0
y
φ(s)ds)|
(0,0)
(t,1)
, 即t
2
+∫
0
1
φ(s)dx=t+∫
0
t
φ(s)ds,亦即t
2
=t+∫
1
t
φ(s)dx。求导得2t=1+φ(t),即φ(t)=2t一1。 因此Q(x,y)=x
2
+2y一1。
解析
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0
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