设点M(ξ，η，ζ)是椭球面上第一象限中的点，S是该椭球面在点M处的切平面被三个坐标面所截得的三角形的上侧．求点(ξ，η，ζ)使曲面积分为最小，并求此最小值．

admin2016-04-14 81

问题设点M(ξ，η，ζ)是椭球面

上第一象限中的点，S是该椭球面在点M处的切平面被三个坐标面所截得的三角形的上侧．求点(ξ，η，ζ)使曲面积分

为最小，并求此最小值．

选项

答案曲面[*]上点M(ξ，η，ζ)处的法向量为[*]，切平面方程是 [*] 化简即得 [*] 该切平面被三坐标面截得的三角形在xOy平面上的投影区域为 [*] 求I的最小值等价于求ω=ξηζ，0＜ξ＜a，0＜η＜b，0＜ξ＜c的最大值，约束条件是 [*] 由拉格朗日乘数法得 [*] 显然，当ξ=a或ξ=0时，ω最小，故当[*]时，叫最大，I的最小值为[*]

解析

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考研数学一

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设点M(ξ，η，ζ)是椭球面上第一象限中的点，S是该椭球面在点M处的切平面被三个坐标面所截得的三角形的上侧．求点(ξ，η，ζ)使曲面积分为最小，并求此最小值．

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