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设3阶实对称矩阵A的秩为2,又6是它的二重特征值,向量(1,1,0)T和(2,1,1)T和(﹣1,2,﹣3)T都是6的特征向量.(1)求A的另一个特征值及相应的特征向量;(2)求A.
设3阶实对称矩阵A的秩为2,又6是它的二重特征值,向量(1,1,0)T和(2,1,1)T和(﹣1,2,﹣3)T都是6的特征向量.(1)求A的另一个特征值及相应的特征向量;(2)求A.
admin
2020-06-05
35
问题
设3阶实对称矩阵A的秩为2,又6是它的二重特征值,向量(1,1,0)
T
和(2,1,1)
T
和(﹣1,2,﹣3)
T
都是6的特征向量.(1)求A的另一个特征值及相应的特征向量;(2)求A.
选项
答案
(1)因为R(A)=2,所以|A|=0,根据特征值的性质以及6是矩阵A的二重特征值可知A有一特征值为0.又向量(1,1,0)
T
,(2,1,1)
T
和(﹣1,2,﹣3)
T
的极大无关组为p
1
=(1,1,0)
T
,p
2
=(2,1,1)
T
,因而矩阵A的属于特征值6的特征向量为c
1
p
1
+c
2
p
2
(c
1
,c
2
不全为零).不妨设矩阵A的属于特征值0的特征向量为p
1
=(x
1
,x
2
,x
3
),注意到是对称矩阵不同特征值所对应的特征向量正交,则 [*] 解得基础解系为(﹣1,1,1)
T
,所以矩阵A的属于特征值0的特征向量为c(﹣1,1,1)
T
(c≠0). (2)由矩阵特征值与特征向量的定义可得 A(p
1
,p
2
,p
3
)=(6p
1
,6p
2
,0) 因此 [*]
解析
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考研数学一
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