设3阶实对称矩阵A的秩为2，又6是它的二重特征值，向量(1，1，0)T和(2，1，1)T和(﹣1，2，﹣3)T都是6的特征向量．(1)求A的另一个特征值及相应的特征向量；(2)求A．

admin2020-06-05 31

问题设3阶实对称矩阵A的秩为2，又6是它的二重特征值，向量(1，1，0)^T和(2，1，1)^T和(﹣1，2，﹣3)^T都是6的特征向量．(1)求A的另一个特征值及相应的特征向量；(2)求A．

选项

答案(1)因为R(A)＝2，所以｜A｜＝0，根据特征值的性质以及6是矩阵A的二重特征值可知A有一特征值为0．又向量(1，1，0)^T，(2，1，1)^T和(﹣1，2，﹣3)^T的极大无关组为p₁＝(1，1，0)^T，p₂＝(2，1，1)^T，因而矩阵A的属于特征值6的特征向量为c₁p₁＋c₂p₂(c₁，c₂不全为零)．不妨设矩阵A的属于特征值0的特征向量为p₁＝(x₁，x₂，x₃)，注意到是对称矩阵不同特征值所对应的特征向量正交，则 [*] 解得基础解系为(﹣1，1，1)^T，所以矩阵A的属于特征值0的特征向量为c(﹣1，1，1)^T(c≠0)． (2)由矩阵特征值与特征向量的定义可得 A(p₁，p₂，p₃)＝(6p₁，6p₂，0) 因此 [*]

解析

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考研数学一

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设3阶实对称矩阵A的秩为2，又6是它的二重特征值，向量(1，1，0)T和(2，1，1)T和(﹣1，2，﹣3)T都是6的特征向量．(1)求A的另一个特征值及相应的特征向量；(2)求A．

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