设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 y’+ky=f(x) 存在唯一的以∞为周期的特解，并求此特解，其中k≠0为常数．

admin2018-11-21 78

问题设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程
y’+ky=f(x)
存在唯一的以∞为周期的特解，并求此特解，其中k≠0为常数．

选项

答案此线性方程的通解即所有解可表示为y(x)=e^-kx[C+f：f(t)e^ktdt]． y(x)以ω为周期，即y(x)=y(x+ω)，亦即 e^-kx[C+∫₀^xf(t)e^ktdt]=e^-kx—kω[C+∫₀^x+ωf(t)e^ktdt]． → C+∫₀^xf(t)e^ktdt=e^-kx[C+∫₀^x+ωf(t)e^ktdt][*]e^-kω[C+∫_—ω^xf(s+ω)e^ks+kωds] =Ce^-kω+∫_—ω⁰f(s)eksds+∫₀^xf(s)e^ksds． [*] 对应于这个C的特解就是以ω为周期的函数，而且这样的常数只有一个，所以周期解也只有一个．

解析本题实际上求该方程的特解．对此，我们先求通解，然后利用周期性确定常数C．

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/jOg4777K

考研数学一

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 y’+ky=f(x) 存在唯一的以∞为周期的特解，并求此特解，其中k≠0为常数．

考研数学一

设随机变量X～N(μ，σ2)，且二次方程y2+4y+X=0无实根的概率为0．5，则μ=______。

设随机变量X和Y的联合密度为(Ⅰ)试求X的概率密度f(x)；(Ⅱ)试求事件“X大于Y”的概率P{X＞Y}；(Ⅲ)求条件概率P{Y＞1｜X＜0．5}。

设ξ，η是两个相互独立且服从同一分布的随机变量，已知ξ的分布率为P{ξ=i}=，i=1，2，3。又设X=max(ξ，η)，Y=min(ξ，η)。(Ⅰ)写出二维随机变量的分布律：(Ⅱ)求随机变量X的数学期望E(X)。

设随机变量X的概率密度为f(x)=令随机变量(Ⅰ)求Y的分布函数；(Ⅱ)求概率P{X≤Y}。

(Ⅰ)验证函数y(x)=(-∞＜x＜+∞)满足微分方程y’’+y’+y=ex;(Ⅱ)求幂级数y(x)=的和函数。

设直线L过A(1，0，0)，B(0，1，1)两点，将L绕z轴旋转一周得到曲面∑，∑与平面z=0，z=2所围成的立体为Ω。(Ⅰ)求曲面∑的方程；(Ⅱ)求Ω的形心坐标。

设线性方程组已知(1，-1，1，-1)T是该方程组的一个解，求方程组所有的解。

设z=z(x，y)是由x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0确定的函数，求z=z(x，y)的极值点和极值。

设z=则该函数在点(0，0)处()

设曲线L的参数方程为x(t)=t-sint，y(t)=1-cost(0≤t≤2π)。求曲线L与x轴所围图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积V。

休克时血糖升高的原因是

各种休克的共同病理生理改变是

关于口腔黏膜，以下哪项是错误的

患者，男性，40岁，刷牙出血2年，冷热刺激酸痛，无自发痛，下前牙咬合无力半年。检查：CI-S为3，牙龈充血肿胀，下前牙松动I度，牙龈萎缩2mm，上、下磨牙牙周袋深4～5mm，初步诊断应

()是药品招标采购的行为主体。

在要约收购上市公司方式下，收购人在依照规定报送上市公司收购报告书并公告收购要约后，即可在收购要约的期限内实施收购。根据《证券法》的规定，收购要约的期限为()。

根据埃里克森的社会心理发展理论，大学生的主要发展任务为()。

七音十二律长期以来被默认为是西方创建的。下列对造成这种现象的根本原因，理解准确的一项是：下列对“古代中国的音律和天文知识，有着密不可分的关系”理解不正确的一项是：

[A]Whathavetheyfound?[B]Isittruethatlaughingcanmakeushealthier?[C]Sowhydopeoplelaughsomuch?[D]Whatmakes

J.Manin认为，回顾数据库的应用发展史，有两类数据库，即应用数据库和【】。