设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 y’+ky=f(x) 存在唯一的以∞为周期的特解，并求此特解，其中k≠0为常数．

admin2018-11-21 25

问题设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程
y’+ky=f(x)
存在唯一的以∞为周期的特解，并求此特解，其中k≠0为常数．

选项

答案此线性方程的通解即所有解可表示为y(x)=e^-kx[C+f：f(t)e^ktdt]． y(x)以ω为周期，即y(x)=y(x+ω)，亦即 e^-kx[C+∫₀^xf(t)e^ktdt]=e^-kx—kω[C+∫₀^x+ωf(t)e^ktdt]． → C+∫₀^xf(t)e^ktdt=e^-kx[C+∫₀^x+ωf(t)e^ktdt][*]e^-kω[C+∫_—ω^xf(s+ω)e^ks+kωds] =Ce^-kω+∫_—ω⁰f(s)eksds+∫₀^xf(s)e^ksds． [*] 对应于这个C的特解就是以ω为周期的函数，而且这样的常数只有一个，所以周期解也只有一个．

解析本题实际上求该方程的特解．对此，我们先求通解，然后利用周期性确定常数C．

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/jOg4777K

考研数学一

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 y’+ky=f(x) 存在唯一的以∞为周期的特解，并求此特解，其中k≠0为常数．

考研数学一

设，其中a2+c2≠0，则必有()

设随机变量X和Y的联合密度为(Ⅰ)试求X的概率密度f(x)；(Ⅱ)试求事件“X大于Y”的概率P{X＞Y}；(Ⅲ)求条件概率P{Y＞1｜X＜0．5}。

设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=tsαs+t2α1，其中t1，t2为实常数。试问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs也为Ax=0的一个基础解系。

设α1，α2，…，αn是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示。

已知向量组α1=(1，2，-1，1)T，α2=(2，0，t，0)T，α3=(0，-4，5，t)T线性无关，则t的取值范围为_______。

设∑为椭球面的上半部分，点P(x，y，z)∈∑，∏为∑在点P处的切平面，p(x，y，z)为点O(0，0，0)到平面∏的距离，求

具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是()

设曲线L：f(x，y)=1(具有一阶连续偏导数)过第二象限内的点M和第四象限内的点N，Γ为L上从点M到点N的一段弧，则下列积分小于零的是()

过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D。(Ⅰ)求D的面积A；(Ⅱ)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V。

在氯碱生产吸收HCl时产生的溶解热将液相不断加热，直至一定程度时部分水分汽化，将大部分溶解热除去的方法称为()。

X线穿过人体后。强度分布出现差异，称为

原发性脊柱侧弯是因为

久病、重病患者，原来不欲言语，语声低微，时断时续，突然转为言语不休的变化是

某事故调查组经过详细调查，查明了事故发生的各种原因，阐明了事故的直接经济损失，准备召开相关会议以认定事故的性质和相关责任。关于事故责任的有关说法中，正确的是()。

一切外来的原始凭证都是一次凭证。()

根据表格资料，回答问题：下列关于2008年我国城市、农村娱乐教育文化用品及服务消费量的说法正确的是()。

•Youwillhearatalkonimportregulations.•Foreachquestion23-30,markoneletter(A,BorC)forthecorrectanswer.•A

SlanginEnglishTodaywe’lldiscussacommonlinguisticphenomenoninEnglish—slang.Thefeaturesofslangarelisteda

TheotherdayIwaslisteningtoaChristianradioprogramonthewaytothegym.Eachdaytheyaskaquestionfortheirlistene