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设f(x)是以ω为周期的连续函数,证明:一阶线性微分方程 y’+ky=f(x) 存在唯一的以∞为周期的特解,并求此特解,其中k≠0为常数.
设f(x)是以ω为周期的连续函数,证明:一阶线性微分方程 y’+ky=f(x) 存在唯一的以∞为周期的特解,并求此特解,其中k≠0为常数.
admin
2018-11-21
47
问题
设f(x)是以ω为周期的连续函数,证明:一阶线性微分方程
y’+ky=f(x)
存在唯一的以∞为周期的特解,并求此特解,其中k≠0为常数.
选项
答案
此线性方程的通解即所有解可表示为y(x)=e
-kx
[C+f:f(t)e
kt
dt]. y(x)以ω为周期,即y(x)=y(x+ω),亦即 e
-kx
[C+∫
0
x
f(t)e
kt
dt]=e
-kx—kω
[C+∫
0
x+ω
f(t)e
kt
dt]. → C+∫
0
x
f(t)e
kt
dt=e
-kx
[C+∫
0
x+ω
f(t)e
kt
dt][*]e
-kω
[C+∫
—ω
x
f(s+ω)e
ks+kω
ds] =Ce
-kω
+∫
—ω
0
f(s)eksds+∫
0
x
f(s)e
ks
ds. [*] 对应于这个C的特解就是以ω为周期的函数,而且这样的常数只有一个,所以周期解也只有一个.
解析
本题实际上求该方程的特解.对此,我们先求通解,然后利用周期性确定常数C.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/jOg4777K
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考研数学一
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