设曲线y=y(x)满足xdy+(x一2y)dx=0，且y=y(x)与直线x=1及x轴所围的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则y(x)=( )

admin2019-03-14 59

问题设曲线y=y(x)满足xdy+(x一2y)dx=0，且y=y(x)与直线x=1及x轴所围的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则y(x)=( )

选项 A、
B、
C、
D、

答案C

解析原方程可化为

=一1，其通解为
V=

=x+Cx²。
曲线y=C+Cx²与直线x=1及x轴所围区域绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为
V(C)=π∫₀¹(x+Cx²)²dx=

。

故C=

是唯一的极值点，则为最小值点，所以y=x一

x²。

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