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  3. 设f(χ)在[0，1]上连续，且满足∫01f(χ)dχ＝0，∫01χf(χ)dχ＝0，求证：f(χ)在(0，1)内至少存在两个零点．

设f(χ)在[0，1]上连续，且满足∫01f(χ)dχ＝0，∫01χf(χ)dχ＝0，求证：f(χ)在(0，1)内至少存在两个零点．

admin2016-10-21  36
问题 设f(χ)在[0，1]上连续，且满足∫01f(χ)dχ＝0，∫01χf(χ)dχ＝0，求证：f(χ)在(0，1)内至少存在两个零点．
选项
答案令F(χ)＝∫0χf(t)dt，G(χ)＝∫0χF(s)ds，显然G(χ)在[0，1]可导，G(0)＝0，又 [*] 对G(χ)在[0，1]上用罗尔定理知，[*]c∈(0，1)使得G′(c)＝F(c)＝0． 现由F(χ)在[0，1]可导，F(0)＝F(c)＝F(1)＝0，分别在[0，c]，[c，1]对F(χ)用罗尔定理知．[*]ξ1∈(0，c)，ξ2∈(c，1)，使得F′(ξ1)＝f(ξ1)＝0，F′(ξ2)＝f(ξ2)＝0，即f(χ)在(0，1)内至少有在两个零点．
解析
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考研数学二

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