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  3. 设线性方程组 与方程 (Ⅱ)：x1+2x2+x3=a－1 有公共解，求a的值及所有公共解．

设线性方程组 与方程 (Ⅱ)：x1+2x2+x3=a－1 有公共解，求a的值及所有公共解．

admin2021-01-25  42
问题 设线性方程组

与方程
(Ⅱ)：x1+2x2+x3=a－1
有公共解，求a的值及所有公共解．
选项
答案1 方程组(Ⅰ)的系数矩阵A的行列式为 [*] =(a－1)(a－2) (1)当|A|≠0，即a≠1且a≠2时，方程组(Ⅰ)只有零解，而零解x=(0，0，0)T不满足方程(Ⅱ)，故当a≠1且a≠2时，(Ⅰ)与(Ⅱ)无公共解； (2)当a=1时，由A的初等行变换 [*] 得方程组(Ⅰ)的通解为x=c(1，0，－1)T，其中c为任意常数．显然当a=1时，(Ⅱ)是(Ⅰ)的一个方程，(Ⅰ)的解都满足(Ⅱ)．所以，当a=1时，(Ⅰ)与(Ⅱ)的所有公共解是x=c(1，0，－1)T，其中c为任意常数； (3)当a=2时，由A的初等行变换 [*] 得(Ⅰ)的通解为x=k(0，1，－1)T，要使它是(Ⅱ)的解，将其代入方程(Ⅱ)，得k=1，故当a=2时，(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解为x=(0，1，－1)T． 2 将(Ⅰ)与(Ⅱ)联立，得线性方程组 [*] 显然，方程组(Ⅲ)的解既满足(Ⅰ)，又满足(Ⅱ)；反之，(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解必满足(Ⅲ)．因此，要求(Ⅰ)与(Ⅱ)公共解，只要求方程组(Ⅲ)的解即可． 对方程组(Ⅲ)的增广矩阵施行初等行变换 [*] 由线性方程组有解判定定理知，方程组(Ⅲ)有解[*](a－1)(a－2)=0[*]a=1或a=2． (1)当a=1时 [*] 由此得方程组(Ⅲ)的通解、即(Ⅰ)与(Ⅱ)的所有公共解为x=c(1．0．－1)T，其中c为任意常数； (2)当a=2时 [*] 由此得(Ⅲ)有唯一解x=(0，1，－1)T，故当a=2时，(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解为x=(0，1，－1)T．
解析
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考研数学三

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