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设线性方程组 与方程 (Ⅱ):x1+2x2+x3=a-1 有公共解,求a的值及所有公共解.
设线性方程组 与方程 (Ⅱ):x1+2x2+x3=a-1 有公共解,求a的值及所有公共解.
admin
2021-01-25
48
问题
设线性方程组
与方程
(Ⅱ):x
1
+2x
2
+x
3
=a-1
有公共解,求a的值及所有公共解.
选项
答案
1 方程组(Ⅰ)的系数矩阵A的行列式为 [*] =(a-1)(a-2) (1)当|A|≠0,即a≠1且a≠2时,方程组(Ⅰ)只有零解,而零解x=(0,0,0)
T
不满足方程(Ⅱ),故当a≠1且a≠2时,(Ⅰ)与(Ⅱ)无公共解; (2)当a=1时,由A的初等行变换 [*] 得方程组(Ⅰ)的通解为x=c(1,0,-1)
T
,其中c为任意常数.显然当a=1时,(Ⅱ)是(Ⅰ)的一个方程,(Ⅰ)的解都满足(Ⅱ).所以,当a=1时,(Ⅰ)与(Ⅱ)的所有公共解是x=c(1,0,-1)
T
,其中c为任意常数; (3)当a=2时,由A的初等行变换 [*] 得(Ⅰ)的通解为x=k(0,1,-1)
T
,要使它是(Ⅱ)的解,将其代入方程(Ⅱ),得k=1,故当a=2时,(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解为x=(0,1,-1)
T
. 2 将(Ⅰ)与(Ⅱ)联立,得线性方程组 [*] 显然,方程组(Ⅲ)的解既满足(Ⅰ),又满足(Ⅱ);反之,(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解必满足(Ⅲ).因此,要求(Ⅰ)与(Ⅱ)公共解,只要求方程组(Ⅲ)的解即可. 对方程组(Ⅲ)的增广矩阵施行初等行变换 [*] 由线性方程组有解判定定理知,方程组(Ⅲ)有解[*](a-1)(a-2)=0[*]a=1或a=2. (1)当a=1时 [*] 由此得方程组(Ⅲ)的通解、即(Ⅰ)与(Ⅱ)的所有公共解为x=c(1.0.-1)
T
,其中c为任意常数; (2)当a=2时 [*] 由此得(Ⅲ)有唯一解x=(0,1,-1)
T
,故当a=2时,(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解为x=(0,1,-1)
T
.
解析
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考研数学三
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