(01年)设f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足 f(1)＝kχe1－χf(χ)dχ (k＞1) 证明至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝(1－ξ-1)f(ξ)．

admin2017-05-26 43

问题 (01年)设f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足
f(1)＝k

χe^1－χf(χ)dχ (k＞1)
证明至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝(1－ξ^-1)f(ξ)．

选项

答案令F(χ)＝χe^1-χf(χ)，则F(1)＝f(1) 由积分中值定理得k[*]χe^1-χf(χ)dχ＝ce^1-cf(c) 0＜c＜[*]＜1 由原式f(1)＝k[*]χe^1-χf(χ)dχ知F(c)＝F(1) 从而F(χ)在[c，1]上满足罗尔定理条件，则存在ξ∈(c，1)使 F′(ξ)＝0．即ξe^1-ξ[f′(ξ)－(1－ξ^-1)f(ξ)]＝0 而ξe^1-ξ≠0，故f′(ζ)－(1－ξ^-1)f(ξ)＝0 即f′(ξ)＝(1－ξ^-1)f(ξ)．

解析

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考研数学三

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