设f(x)是以T为周期的连续函数(若下式中用到f’(x),则设f’(x)存在),则以下4个结论,不正确的是 ( )

admin2014-04-23  23

问题 设f(x)是以T为周期的连续函数(若下式中用到f(x),则设f(x)存在),则以下4个结论,不正确的是    (    )

选项 A、f(x)必以T为周期.
B、必以T为周期.
C、必以T为周期.
D、必以T为周期.

答案B

解析 B的反例:f(x)=sin2x,以π为周期,但不是周期函数,B不正确,选B.
事实上,设f(x)有周期T,则有周期T的充要条件是
证明如下:
可见F(x+T)≡F(x)的充要条件是证毕.
以下说明A,C,D均正确.
由f(x+T)=f(x)及f(x)可导,有f(x+T)=f(x).
所以f(x)有周期T,A正确.
C中的被积函数是t的周期函数,
由以上证明,以T为周期的充要条件是而该积分中的被积函数f(t)一f(一t)是t的奇函数,成立,所以C正确.
D中令所以F(x)以T为周期,D正确.
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