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设f(x)是以T为周期的连续函数(若下式中用到f’(x),则设f’(x)存在),则以下4个结论,不正确的是 ( )
设f(x)是以T为周期的连续函数(若下式中用到f’(x),则设f’(x)存在),则以下4个结论,不正确的是 ( )
admin
2014-04-23
23
问题
设f(x)是以T为周期的连续函数(若下式中用到f
’
(x),则设f
’
(x)存在),则以下4个结论,不正确的是 ( )
选项
A、f
’
(x)必以T为周期.
B、
必以T为周期.
C、
必以T为周期.
D、
必以T为周期.
答案
B
解析
B的反例:f(x)=sin
2
x,以π为周期,但
不是周期函数,B不正确,选B.
事实上,设f(x)有周期T,则
有周期T的充要条件是
证明如下:
令
有
可见F(x+T)≡F(x)的充要条件是
证毕.
以下说明A,C,D均正确.
由f(x+T)=f(x)及f(x)可导,有f
’
(x+T)=f
’
(x).
所以f
’
(x)有周期T,A正确.
C中的被积函数是t的周期函数,
由以上证明,
以T为周期的充要条件是
而该积分中的被积函数f(t)一f(一t)是t的奇函数,
成立,所以C正确.
D中令
有
所以F(x)以T为周期,D正确.
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