n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )

admin2019-07-12 49

问题 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )

选项 A、二次型x^TAx的负惯性指数为零。
B、存在可逆矩阵P使P^-1AP=E。
C、存在n阶矩阵C使A=C^-1C。
D、A的伴随矩阵A^*与E合同。

答案D

解析 A选项是必要不充分条件。这是因为r(A)=p+g≤n，当g=0时，有r(A)=p≤n。此时有可能pTAx不一定是正定二次型。因此矩阵A不一定是正定矩阵。例如f(c)=x₁²+5x₃²。
B选项是充分不必要条件。这是因为P^-1AP=E表示A与E相似，即A的特征值全是1，此时A是正定的。但只要A的特征值全大于零就可保证A正定，因此特征值全是1是不必要的。
C选项中的矩阵C没有可逆的条件，因此对于A=C^TC不能说A与E合同，也就没有A是正定矩阵的结论。例如
C=

,A=C^TC=

,
显然矩阵不正定。
关于选项D，由于
A正定

A^-1正定

A^*正定

A^*与E合同，
所以D是充分必要条件，故选D。

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考研数学三

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设n为非零向量，η为方程组AX=0的解，则a=，方程组的通解为．

设随机变量X，Y相互独立，且X～P(1)，Y～P(2)，求P(max{X，Y}≠0)及P(min{X，Y}≠0)．

设(n=1，2，…；an＞0，bn＞0)，证明：若级数收敛；

设f(x)为连续函数，计算其中D是由y=x3，y=1，x=－1围成的区域．

求幂级数

求下列极限：

(1995年)已知连续函数f(x)满足条件求f(x)．

(1988年)过曲线y=x2(x≥0)上某点A作一切线．使之与曲线及z轴围成图形的面积为，求：(1)切点A的坐标．(2)过切点A的切线方程；(3)由上述图形绕z轴旋转而成旋转体体积V．

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