n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )

admin2019-07-12 40

问题 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )

选项 A、二次型x^TAx的负惯性指数为零。
B、存在可逆矩阵P使P^-1AP=E。
C、存在n阶矩阵C使A=C^-1C。
D、A的伴随矩阵A^*与E合同。

答案D

解析 A选项是必要不充分条件。这是因为r(A)=p+g≤n，当g=0时，有r(A)=p≤n。此时有可能pTAx不一定是正定二次型。因此矩阵A不一定是正定矩阵。例如f(c)=x₁²+5x₃²。
B选项是充分不必要条件。这是因为P^-1AP=E表示A与E相似，即A的特征值全是1，此时A是正定的。但只要A的特征值全大于零就可保证A正定，因此特征值全是1是不必要的。
C选项中的矩阵C没有可逆的条件，因此对于A=C^TC不能说A与E合同，也就没有A是正定矩阵的结论。例如
C=

,A=C^TC=

,
显然矩阵不正定。
关于选项D，由于
A正定

A^-1正定

A^*正定

A^*与E合同，
所以D是充分必要条件，故选D。

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