设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22—y32,其中P=(e1,e2,e3).若Q=(e1,e2,e3),则f(x1,x2,x3)在正交变换x=Qy下的标准形为

admin2019-07-12  59

问题 设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22—y32,其中P=(e1,e2,e3).若Q=(e1,e2,e3),则f(x1,x2,x3)在正交变换x=Qy下的标准形为

选项 A、2y12—y22+y32
B、2y12+y22—y32
C、2y12—y22—y32
D、2y12+y22+y32

答案A

解析 设二次型的矩阵为A,则由题意知矩阵P的列向量e1,e2,e3是矩阵A的标准正交的特征向量,对应的特征值依次是2,1,一1.即有
    Ae1=2e1,Ae2=2e2,A3=23
从而有
    AQ=A(e1,—e3,e2)=(Ae1,—Ae3,Ae2)一(2e1,—(—e3),e2)
=(e1,—e3,e2)
    矩阵Q的列向量e1,—e3,e2仍是A的标准正交的特征向量,对应的特征值依次是2,一1,1.矩阵Q是正交矩阵,有Q—1=QT,上式两端左乘Q—1,得
Q—1AQ=QTAQ=
从而知f在正交变换x=Py下的标准形为f=2y12—y22+y32.于是选A.
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