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在第一象限的椭圆上求一点,使过该点的法线与原点的距离最大.
在第一象限的椭圆上求一点,使过该点的法线与原点的距离最大.
admin
2021-08-02
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问题
在第一象限的椭圆
上求一点,使过该点的法线与原点的距离最大.
选项
答案
设g(x,y)=[*],则有[*] 因为椭圆上任意一点(x,y)处的法线方程为[*],所以原点到该法线的距离为 [*] 记f(x,y)=[*],x>0,y>0,约束条件为g(x,y)=[*],构造拉格朗日函数h(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y). 根据条件极值的求解方法,先求 [*] 令[*],得联立方程组: [*] 由①式得λ=[*];由②式得λ=[*].所以有[*] 代入③式得[*],则有[*] 根据实际问题,与原点距离最大的法线是存在的,驻点只有一个,所得即所求,故可断定所求的点为[*]
解析
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考研数学二
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