2. 考研
  3. 在某国，每年有比例为p的农村居民移居城镇，有比例为q的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为xn和yn（xn+yn=1）。 （Ⅰ）求关系式中的矩阵A； （Ⅱ）设目前农村人口与城镇

在某国，每年有比例为p的农村居民移居城镇，有比例为q的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为xn和yn（xn+yn=1）。 （Ⅰ）求关系式中的矩阵A； （Ⅱ）设目前农村人口与城镇

admin2017-12-29  61
问题 在某国，每年有比例为p的农村居民移居城镇，有比例为q的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为xn和yn（xn+yn=1）。
（Ⅰ）求关系式中的矩阵A；
（Ⅱ）设目前农村人口与城镇人口相等，即
选项
答案（Ⅰ）由题意，人口迁移的规律不变 xn+1=xn+qyn一pxn=（1—p）xn+gyn， yn+1=yn+pxn一qyn=pxn+（1一q）yn， 用矩阵表示为 [*] 得A的特征值为λ1=1，λ2=r，其中r=1一P—q。 当λ1=1时，解方程（A—E）x=0，得特征向量p1=[*] 当λ2=r时，解方程（A一rE）x=0，得特征向量p2=[*] 令P=（p1，p2）=[*] 则 P—1AP=[*]=A，A=PΛP—1，An=PΛP—1。 于是 [*]
解析
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考研数学三

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