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  3. 设A为m×n矩阵．证明：对任意m维列向量b，非齐次线性方程组Ax=b恒有解的充分必要条件是r(A)=m．

设A为m×n矩阵．证明：对任意m维列向量b，非齐次线性方程组Ax=b恒有解的充分必要条件是r(A)=m．

admin2019-03-07  73
问题 设A为m×n矩阵．证明：对任意m维列向量b，非齐次线性方程组Ax=b恒有解的充分必要条件是r(A)=m．
选项
答案必要性：设εj为Em的第j个列向量，由必要性假定，方程组Ax=εj有解cj，即Acj=εj，(j=1，2，…，m)，→A[c1 c2 … cm]=[ε1 ε2 … εm]=Em，记C=[c1 c2 … cm]，则有AC=Em，故m=r(Em)=r(AC)≤r(A)≤m，→r(A)=m；充分性：设r(A)=m，即A的行向量组线性无关，故[*]的行向量组线性无关，从而有，r([*])=m，由有解判定定理，知方程组Ax=b有解(其中[*]=[A┊b])．
解析
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考研数学一

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