2. 考研
  3. 设函数f(x)可导且0≤f’(x)≤(k＞0)，对任意的xn，作xn+1=f(xn)(n=0，1，2，…)，证明：xn存在且满足方程f(x)=x．

设函数f(x)可导且0≤f’(x)≤(k＞0)，对任意的xn，作xn+1=f(xn)(n=0，1，2，…)，证明：xn存在且满足方程f(x)=x．

admin2018-05-21  48
问题 设函数f(x)可导且0≤f’(x)≤(k＞0)，对任意的xn，作xn+1=f(xn)(n=0，1，2，…)，证明：xn存在且满足方程f(x)=x．
选项
答案xn+1－xn=－f(xn)－f(xn－1)=f’(ξn)(xn－xn－1)，因为f’(x)≥0，所以xn+1－xn与xn－xn－1同号，故{xn}单调． |xn|=|f(xn－1)|=|f(x1)+[*]f’(x)dx| ≤|f(x1)|+|[*]f’(x)dx|≤|f(x1)|+∫－∞+∞[*]dx=|f(x1)|+πk， 即{xn}有界，于是[*]xn存在， 根据f(x)的可导性得f(x)处处连续，等式xn+1=f(xn)两边令n→∞，得 [*]xn)，原命题得证．
解析
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考研数学一

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