设A,B均为n阶矩阵,A可逆且A~B,则下列命题中: ①AB~BA; ②A2~B2; ③AT~BT; ④A-1~B-1 正确命题的个数为 ( )

admin2016-07-22  24

问题 设A,B均为n阶矩阵,A可逆且A~B,则下列命题中:
    ①AB~BA;    ②A2~B2;    ③AT~BT;    ④A-1~B-1
正确命题的个数为    (  )

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案D

解析 由A~B可知:存在可逆矩阵P,使得P-1AP=B.故
    P-1A2P=B2,  PTAT(PT)=BT,  P-1A-1P=B-1
所以A2~B2,AT~BT,A-1~B-1.又由于A可逆,可知A-1(AB)A=BA,故AB~BA.故正确的命题有4个,选(D).
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