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[2010年] 求函数u=xy+2yz在约束条件x2+y2+z2=10下的最大值和最小值.
[2010年] 求函数u=xy+2yz在约束条件x2+y2+z2=10下的最大值和最小值.
admin
2019-03-30
64
问题
[2010年] 求函数u=xy+2yz在约束条件x
2
+y
2
+z
2
=10下的最大值和最小值.
选项
答案
解一 用拉格朗日乘数法求之.令F(x,y,z)=xy+2yz+λ(x
2
+y
2
+z
2
-10).且令 [*] 由式①、式③分别得λ=-y/(2x),λ=-y/z,故 y/(2x)=y/z, 即 z=2x. ⑤ 将式⑤代入式②得到 5x+2λy=0, 即 λ=-5x/(2y) (y≠0). ⑥ 由式⑥和λ=-y/(2x)得到 λ=-5x/(2y)=-y/(2x), 即 5x
2
=y
2
. ⑦ 将式⑤、式⑦代入式④,得到10x
2
=10,即x
2
=1,x=±1. 当x=1时,z=2,[*]当x=-1时,z=-2,[*] 令y=0,由式②、式④得到x=-2z,4z
2
+z
2
=5z
2
=10.即[*]故[*]也是可能极值点. 综上所述,得到可能的极值点有[*] 比较u在各点处的值可知,在点[*]处取得最大值,最大值为[*]在点[*]处取得最小值,最小值为[*]故所求函数u的最大值和最小值分别为[*] 解二 由方程x
2
+y
2
+z
2
=10可确定z是x,y的函数,代入目标函数,得u为x,y的二元函数. 令[*] 在x
2
+y
2
+z
2
=10两边对x,y求导,得到[*]将其代入上式并联立方程④,有 [*] 解上述方程组,得到可能的最值点为 [*] 比较u的各点函数值得到[*]为最大值,[*]为最小值.
解析
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