设A是3阶实对称矩阵，λ1，λ2，λ3是矩阵A的三个不同的特征值，α1，α2，α3是相应的单位特征向量，证明A＝λ1α1α1T＋λ2α2α2T＋λ3α3α3T．

admin2019-01-23 29

问题设A是3阶实对称矩阵，λ₁，λ₂，λ₃是矩阵A的三个不同的特征值，α₁，α₂，α₃是相应的单位特征向量，证明A＝λ₁α₁α₁^T＋λ₂α₂α₂^T＋λ₃α₃α₃^T．

选项

答案令P＝(α₁，α₂，α₃)，则P是正交矩阵，由于A是实对称矩阵，故必有 P^-1AP＝∧＝[*] 那么A＝P∧P^-1＝P∧P^T [*] 由于 [*] 从而有A＝λ₁α₁α₁^T＋λ₂α₂α₂^T＋λ₃α₃α₃^T

解析

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考研数学一

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