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  3. 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足Aα1＝α1＋α2＋α3，Aα2＝2α2＋α3，Aα3＝2α2＋3α3． (1)求矩阵A的特征值； (2)求可逆矩阵P使得P-1AP＝∧．

设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足Aα1＝α1＋α2＋α3，Aα2＝2α2＋α3，Aα3＝2α2＋3α3． (1)求矩阵A的特征值； (2)求可逆矩阵P使得P-1AP＝∧．

admin2016-05-09  85
问题 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足Aα1＝α1＋α2＋α3，Aα2＝2α2＋α3，Aα3＝2α2＋3α3．
    (1)求矩阵A的特征值；
    (2)求可逆矩阵P使得P-1AP＝∧．
选项
答案(1)由已知可得 A(α1，α2，α3)＝(α1＋α2＋α3，2α2＋α3，2α2＋3α3)＝(α1，α2，α3)[*] 记P1＝(α1，α2，α3)，B＝[*]，则有AP1＝P1B． 由于α1，α2，α3线性无关，即矩阵P1可逆，所以P1-1AP1＝B，因此矩阵A与B相似，则 ｜λE－B｜＝[*]＝(λ－1)2(λ－4)， 矩阵B的特征值是1，1，4，由相似矩阵的性质，故矩阵A的特征值为1，1，4． (2)由(E－B)χ＝0，得矩阵B对应于特征值λ＝1的特征向量β1＝(－1，1，0)T，β2＝(－2，0，1)T；由(4E－B)χ＝0，得对应于特征值λ＝4的特征向量β3＝(0，1，1)T． 令P2＝(β1，β2，β3)＝[*]，得P2-1BP2＝[*]． 则P2-1P1-1AP1P2＝[*] 即当P＝P1P2＝(α1，α2，α3)[*]＝(－α1＋α2，－2α1＋α3，α2＋α3)时，有 P-1AP＝∧＝[*]
解析
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考研数学一

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