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假设随机变量X与Y相互独立,如果X服从标准正态分布,Y的概率分布为P{Y= —1}=,P{Y=1}=。求: V=|X—Y|的概率密度fV(v)。
假设随机变量X与Y相互独立,如果X服从标准正态分布,Y的概率分布为P{Y= —1}=,P{Y=1}=。求: V=|X—Y|的概率密度fV(v)。
admin
2019-07-19
54
问题
假设随机变量X与Y相互独立,如果X服从标准正态分布,Y的概率分布为P{Y= —1}=
,P{Y=1}=
。求:
V=|X—Y|的概率密度f
V
(v)。
选项
答案
由于V=|X—Y|只取非负值,因此当v<0时,其分布函数F
V
(v)=P{|X—Y|≤v}=0;当v≥0时, F
V
(v)=P{—v≤X—Y≤v} =P{Y= —1}P{—v≤X—Y≤v|Y= —1}+P{Y=1}P{—v≤X—Y≤v|Y=1} =[*]P{—v—1≤X≤v—1|Y= —1}+[*]P{—v+1≤X≤v+1|Y=1} =[*]P{—v—1≤X≤v—1}+[*]P{—v+1≤X≤v+1} =[*][Φ(v—1)—Φ(—v—1)]+[*][Φ(v+1)—Φ(—v+1)] =[*]Φ(v—1)—[*][1—Φ(v+1)]+[*]Φ(v+1)—[*][1—Φ(v—1)] =Φ(v—1)+Φ(v+1)—1。 综上计算可得, F
V
(v)=[*] 由于F
V
(v)是连续函数,且除个别点外,导数都是存在的,所以V的概率密度为 [*]
解析
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考研数学一
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