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  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且｜f’(x)｜＜1，又f(0)=f(1)，证明：对于x1，x2∈[0，1]，有 ｜f(x1)一f(x2)｜＜．

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且｜f’(x)｜＜1，又f(0)=f(1)，证明：对于x1，x2∈[0，1]，有 ｜f(x1)一f(x2)｜＜．

admin2018-11-21  26
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且｜f’(x)｜＜1，又f(0)=f(1)，证明：对于x1，x2∈[0，1]，有
    ｜f(x1)一f(x2)｜＜．
选项
答案联系f(x1)一f(x2)与f’(x)的是拉格朗日中值定理．不妨设0≤x1≤x2≤1．分两种情形： 1)若x2一x1＜[*]，直接用拉格朗日中值定理得 ｜f(x1)一f(x2)｜=｜f’(ξ)(x2一x1)｜=｜f’(ξ)｜｜x2一x1｜＜[*]． 2)若x2一x1≥[*]，当0＜x1＜x2＜1时，利用条件f(0)=f(1)分别在[0，x1]与[x2，1]上用拉格朗日中值定理知存在ξ∈(0，x1)，η∈(x2，1)使得 ｜f(x1)一f(x2)｜=｜[f(x1)—f(0)]一[f(x2)一f(1)]｜ ≤｜f(x1)一f(0)｜+｜f(1)一f(x2)｜ =｜f’(ξ)x1｜+｜f’(η)(1一x2)｜ ＜x1+(1一x2)=1一(x2一x1)≤[*]， ①当x1=0且x2≥[*]时，有 ｜f(x1)一f(x2)｜=｜f(0)一f(x2)｜=｜f(1)一f(2)｜=｜f’(η)(1一x2)｜＜[*]． ②当x1≤[*]且x2=1时，同样有 ｜f(x1)一f(x2)｜=｜f(x1)一f(1)I=｜f(x1)—f(0)｜=｜f’(ξ)(x1—0)｜＜[*]． 因此对于任何x1，x2∈[0，1]总有 ｜f(x1)一f(x2)｜＜[*]．
解析
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考研数学一

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