求I=，其中L是以原点为圆心，R为半径的圆周，取逆时针方向，R≠1．

admin2018-11-21 22

问题求I=

，其中L是以原点为圆心，R为半径的圆周，取逆时针方向，R≠1．

选项

答案[*] 若R＜1(见图10．6)，在L所围的有界闭区域D上，P，Q有连续的一阶偏导数且[*]，则 [*] 若R＞1(见图10．7)，在L所围的有界闭区域D内含点(一1，0)，P，Q在此点无定义，不能在D上用格林公式．若以(一1，0)为圆心，ε＞0充分小为半径作圆周C_ε((x+1)²+y²=ε²)，使得C_ε在L所围的圆内．在L与C_ε所围的区域D_ε上利用格林公式得 [*] 其中L与C_ε均是逆时针方向．因此 I=∫_LPdx+Qdy=[*]一ydx+(x+1)dy =[*]2dxdy=2π(在C_ε所围区域上用格林公式)．

解析

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