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[2002年] (1)验证函数(-∞<x<+∞)满足微分方程y"+y’+y=ex;(2)利用(1)的结果求幂级数的和函数.
[2002年] (1)验证函数(-∞<x<+∞)满足微分方程y"+y’+y=ex;(2)利用(1)的结果求幂级数的和函数.
admin
2021-01-25
69
问题
[2002年] (1)验证函数
(-∞<x<+∞)满足微分方程y"+y’+y=e
x
;(2)利用(1)的结果求幂级数
的和函数.
选项
答案
(1)利用幂级数可以逐项求导的性质分别求出y’,y": [*] 则易验证有 [*] (2)由(1)及y’(0)=0,y(0)=1知,幂级数的和函数即为方程①满足初始条件y(0)=1,y’(0)=0的特解. 方程y"+y’+y=e
x
对应的齐次方程y"+y’+y=0的特征方程为λ
2
+λ+1=0,其特征根为[*]因而齐次方程的通解为 [*] 非齐次方程y"+y’+y=e
x
的特解可设为y
*
=Ae
*
,代入方程得A=1/3,即y
*
=e
x
/3,故方程的通解为 [*] 代入初始条件y(0)=1,y(0)=0得到 当x=0时,有[*] 由此得到c
1
=2/3,c
2
=0,于是幂级数[*]的和函数为 [*]
解析
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0
考研数学三
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