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  3. [2002年] (1)验证函数(－∞＜x＜+∞)满足微分方程y"+y’+y=ex；(2)利用(1)的结果求幂级数的和函数．

[2002年] (1)验证函数(－∞＜x＜+∞)满足微分方程y"+y’+y=ex；(2)利用(1)的结果求幂级数的和函数．

admin2021-01-25  54
问题 [2002年]  (1)验证函数(－∞＜x＜+∞)满足微分方程y"+y’+y=ex；(2)利用(1)的结果求幂级数的和函数．
选项
答案(1)利用幂级数可以逐项求导的性质分别求出y’，y"： [*] 则易验证有 [*] (2)由(1)及y’(0)=0，y(0)=1知，幂级数的和函数即为方程①满足初始条件y(0)=1，y’(0)=0的特解． 方程y"+y’+y=ex对应的齐次方程y"+y’+y=0的特征方程为λ2+λ+1=0，其特征根为[*]因而齐次方程的通解为 [*] 非齐次方程y"+y’+y=ex的特解可设为y*=Ae*，代入方程得A=1／3，即y*=ex／3，故方程的通解为 [*] 代入初始条件y(0)=1，y(0)=0得到 当x=0时，有[*] 由此得到c1=2／3，c2=0，于是幂级数[*]的和函数为 [*]
解析
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考研数学三

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