设函数f(x)=sinx-∫0x(x-t)f(t)dt，其中f(x)是连续函数，求f(x)的表达式。

admin2017-01-16 31

问题设函数f(x)=sinx-∫₀^x(x-t)f(t)dt，其中f(x)是连续函数，求f(x)的表达式。

选项

答案由方程f(x)=sinx-∫₀^x(x-t)f(t)dt可知f(0)=0，且f(x)可导。方程两边对x求导，得 f’(x)=cosx-∫₀^xf(t)dt，且f’(0)=1，由f(x)连续可知f’(x)可导，再对上式求导，得 f"(x)+f(x)=-sinx，该二阶非齐次线性微分方程对应的齐次微分方程的特征方程为 λ²+1=0．解得λ=±i，所以齐次微分方程的通解为 F(x)=C₁sinx+C₂cosx，由于i是特征方程的根，所以设特解为 f^*(x)=x(Acosx+Bsinx)，代入f"(x)+f(x)=-sinx可得A=1／2，B=0。故通解为 f(x)=C₁sinx+C₂cosx+[*]xcosx，代入初值f(0)=0和f’(0)=1可得C₁=1／2，C₂=0。故f(x)=[*](sinx+xcosx)。

解析

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