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  3. 设函数f(x)=sinx-∫0x(x-t)f(t)dt，其中f(x)是连续函数，求f(x)的表达式。

设函数f(x)=sinx-∫0x(x-t)f(t)dt，其中f(x)是连续函数，求f(x)的表达式。

admin2017-01-16  35
问题 设函数f(x)=sinx-∫0x(x-t)f(t)dt，其中f(x)是连续函数，求f(x)的表达式。
选项
答案由方程f(x)=sinx-∫0x(x-t)f(t)dt可知f(0)=0，且f(x)可导。 方程两边对x求导，得 f’(x)=cosx-∫0xf(t)dt，且f’(0)=1， 由f(x)连续可知f’(x)可导，再对上式求导，得 f"(x)+f(x)=-sinx， 该二阶非齐次线性微分方程对应的齐次微分方程的特征方程为 λ2+1=0． 解得λ=±i，所以齐次微分方程的通解为 F(x)=C1sinx+C2cosx， 由于i是特征方程的根，所以设特解为 f*(x)=x(Acosx+Bsinx)， 代入f"(x)+f(x)=-sinx可得A=1／2，B=0。 故通解为 f(x)=C1sinx+C2cosx+[*]xcosx， 代入初值f(0)=0和f’(0)=1可得C1=1／2，C2=0。 故f(x)=[*](sinx+xcosx)。
解析
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考研数学一

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