下列关于反常积分∫－∞＋∞f(χ)dχ命题中真命题的个数是 ① 设f(χ)是(－∞，＋∞)上连续的奇函数，则f－∞＋∞(χ)dχ必收敛，且∫－∞＋∞f(χ)dχ＝0； ②设f(χ)在(－∞，＋∞)上连续，且∫-RRf(χ)dχ存在，则∫－

admin2019-02-23 85

问题下列关于反常积分∫_－∞^＋∞f(χ)dχ命题中真命题的个数是
① 设f(χ)是(－∞，＋∞)上连续的奇函数，则f_－∞^＋∞(χ)dχ必收敛，且∫_－∞^＋∞f(χ)dχ＝0；
②设f(χ)在(－∞，＋∞)上连续，且

∫_-R^Rf(χ)dχ存在，则∫_－∞^＋∞f(χ)dχ必收敛，且∫_－∞^＋∞f(χ)dχ＝

∫_-R^Rf(χ)dχ；
③若∫_－∞^＋∞f(χ)dχ与∫_－∞^＋∞g(χ)dχ都发散，则∫_－∞^＋∞[f(χ)＋g(χ)]dχ未必发散；
④若∫_－∞⁰f(χ)dχ与∫₀^＋∞f(χ)dχ都发散，则∫_－∞^＋∞f(χ)dχ未必发散．

选项 A、1个．
B、2个．
C、3个．
D、4个．

答案A

解析反常积分∫_－∞^＋∞f(χ)dχ收敛的充分必要条件是存在常数a，使两个反常积分∫_－∞^af(χ)dχ和∫_a^＋∞f(χ)dχ都收敛．这时定义
∫_－∞^＋∞f(χ)dχ＝∫_－∞^af(χ)dχ＋∫_a^＋∞f(χ)dχ
这是判断题目中四个命题是否是真命题的依据．
设f(χ)＝χ，则f(χ)是(－∞，＋∞)上连续的奇函数，且

∫_-R^Rf(χ)dχ＝0．但是∫_－∞⁰f(χ)dχ＝∫_－∞⁰χdχ＝∞，∫₀^＋∞f(χ)dχ＝∫₀^＋∞χdχ＝∞，故∫_－∞^＋∞f(χ)dχ发散，这表明命题①，②，④都不是真命题．
设f(χ)＝χ，g(χ)＝－χ，由上面讨论可知∫_－∞^＋∞f(χ)dχ与∫_－∞^＋∞g(χ)dχ都发散，但∫_－∞^＋∞[f(χ)＋g(χ)]dχ收敛，这表明命题③是真命题．
故应选A．

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考研数学一

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