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下列关于反常积分∫-∞+∞f(χ)dχ命题中真命题的个数是 ① 设f(χ)是(-∞,+∞)上连续的奇函数,则f-∞+∞(χ)dχ必收敛,且∫-∞+∞f(χ)dχ=0; ②设f(χ)在(-∞,+∞)上连续,且∫-RRf(χ)dχ存在,则∫-
下列关于反常积分∫-∞+∞f(χ)dχ命题中真命题的个数是 ① 设f(χ)是(-∞,+∞)上连续的奇函数,则f-∞+∞(χ)dχ必收敛,且∫-∞+∞f(χ)dχ=0; ②设f(χ)在(-∞,+∞)上连续,且∫-RRf(χ)dχ存在,则∫-
admin
2019-02-23
39
问题
下列关于反常积分∫
-∞
+∞
f(χ)dχ命题中真命题的个数是
① 设f(χ)是(-∞,+∞)上连续的奇函数,则f
-∞
+∞
(χ)dχ必收敛,且∫
-∞
+∞
f(χ)dχ=0;
②设f(χ)在(-∞,+∞)上连续,且
∫
-R
R
f(χ)dχ存在,则∫
-∞
+∞
f(χ)dχ必收敛,且∫
-∞
+∞
f(χ)dχ=
∫
-R
R
f(χ)dχ;
③若∫
-∞
+∞
f(χ)dχ与∫
-∞
+∞
g(χ)dχ都发散,则∫
-∞
+∞
[f(χ)+g(χ)]dχ未必发散;
④若∫
-∞
0
f(χ)dχ与∫
0
+∞
f(χ)dχ都发散,则∫
-∞
+∞
f(χ)dχ未必发散.
选项
A、1个.
B、2个.
C、3个.
D、4个.
答案
A
解析
反常积分∫
-∞
+∞
f(χ)dχ收敛的充分必要条件是存在常数a,使两个反常积分∫
-∞
a
f(χ)dχ和∫
a
+∞
f(χ)dχ都收敛.这时定义
∫
-∞
+∞
f(χ)dχ=∫
-∞
a
f(χ)dχ+∫
a
+∞
f(χ)dχ
这是判断题目中四个命题是否是真命题的依据.
设f(χ)=χ,则f(χ)是(-∞,+∞)上连续的奇函数,且
∫
-R
R
f(χ)dχ=0.但是∫
-∞
0
f(χ)dχ=∫
-∞
0
χdχ=∞,∫
0
+∞
f(χ)dχ=∫
0
+∞
χdχ=∞,故∫
-∞
+∞
f(χ)dχ发散,这表明命题①,②,④都不是真命题.
设f(χ)=χ,g(χ)=-χ,由上面讨论可知∫
-∞
+∞
f(χ)dχ与∫
-∞
+∞
g(χ)dχ都发散,但∫
-∞
+∞
[f(χ)+g(χ)]dχ收敛,这表明命题③是真命题.
故应选A.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/k7M4777K
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考研数学一
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