下列关于反常积分∫-∞+∞f(χ)dχ命题中真命题的个数是 ① 设f(χ)是(-∞,+∞)上连续的奇函数,则f-∞+∞(χ)dχ必收敛,且∫-∞+∞f(χ)dχ=0; ②设f(χ)在(-∞,+∞)上连续,且∫-RRf(χ)dχ存在,则∫-

admin2019-02-23  39

问题 下列关于反常积分∫-∞+∞f(χ)dχ命题中真命题的个数是
    ①  设f(χ)是(-∞,+∞)上连续的奇函数,则f-∞+∞(χ)dχ必收敛,且∫-∞+∞f(χ)dχ=0;
    ②设f(χ)在(-∞,+∞)上连续,且-RRf(χ)dχ存在,则∫-∞+∞f(χ)dχ必收敛,且∫-∞+∞f(χ)dχ=-RRf(χ)dχ;
    ③若∫-∞+∞f(χ)dχ与∫-∞+∞g(χ)dχ都发散,则∫-∞+∞[f(χ)+g(χ)]dχ未必发散;
    ④若∫-∞0f(χ)dχ与∫0+∞f(χ)dχ都发散,则∫-∞+∞f(χ)dχ未必发散.

选项 A、1个.
B、2个.
C、3个.
D、4个.

答案A

解析 反常积分∫-∞+∞f(χ)dχ收敛的充分必要条件是存在常数a,使两个反常积分∫-∞af(χ)dχ和∫a+∞f(χ)dχ都收敛.这时定义
    ∫-∞+∞f(χ)dχ=∫-∞af(χ)dχ+∫a+∞f(χ)dχ
    这是判断题目中四个命题是否是真命题的依据.
    设f(χ)=χ,则f(χ)是(-∞,+∞)上连续的奇函数,且-RRf(χ)dχ=0.但是∫-∞0f(χ)dχ=∫-∞0χdχ=∞,∫0+∞f(χ)dχ=∫0+∞χdχ=∞,故∫-∞+∞f(χ)dχ发散,这表明命题①,②,④都不是真命题.
    设f(χ)=χ,g(χ)=-χ,由上面讨论可知∫-∞+∞f(χ)dχ与∫-∞+∞g(χ)dχ都发散,但∫-∞+∞[f(χ)+g(χ)]dχ收敛,这表明命题③是真命题.
    故应选A.
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