设函数f(x)二阶连续可导，f(0)=1且有f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e－x=0，求f(x)．

admin2017-08-31 80

问题设函数f(x)二阶连续可导，f(0)=1且有f^’(x)+3∫₀^xf^’(t)dt+2x∫₀¹f(tx)dt+e^－x=0，求f(x)．

选项

答案因为x∫₀¹f(tx)dt=∫₀^xf(μ)dμ，所以f^’(x)+3∫₀^xf^’(t)dt＋2x∫₀¹f(tx)dt+e^－x=0可化为f^’(x)+3∫₀^xf^’(t)dt+2∫₀^xf(t)dt＋e^－x=0，两边对x求导得f^’’(x)+3f^’(x)＋2f(x)=e^－x，由λ²+3λ+2=0得λ₁=一1，λ₂=一2，则方程f^’’(x)+3f^’(x)+2f(x)=0的通解为C₁e^－x+C₂e^－2x．令f^’’(x)+3f^’(x)+2f(x)=e^－x的一个特解为y₀=axe^－x，代入得a=1，则原方程的通解为f(x)=C₁e^－x+C₂e^－2x+xe^－x．由f(0)=1，f^’(0)=一1得C₁=0，C₂=1，故原方程的解为 f(x)=e^－2x+xe^－x．

解析

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