已知，则秩(A—E)+秩(A一3E)=( )．

admin2021-10-08 57

问题已知

，则秩(A—E)+秩(A一3E)=( )．

选项 A、7
B、6
C、5
D、4

答案B

解析 B为实对称矩阵，可对角化，又因A～B，故B的特征值0、3(二重根)、一2必是A的特征值，且重数相同，故秩(A一3E)=4—2=2．
解由

=λ(λ一3)(λ²一λ一6)=λ(λ一3)²(λ+2)
及A～B知，B的特征值为0，3(重根)与一2，且它们也是A的特征值．又因B是实对称，必可对角化，因此A可对角化，那么A对于λ=3必有两个线性无关的特征向量，即方程组(3E—A)X=0的一个基础体系只含2个解向量．由4一秩(3E—A)=2得到
秩(3E—A)=n一2=4—2=2．
又因λ=1不是A的特征值，即∣E—A∣≠0，故秩(E—A)=4．于是
秩(A—E)+秩(A一3E)=4+2=6．

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