已知,则秩(A—E)+秩(A一3E)=( ).

admin2021-10-08  23

问题 已知,则秩(A—E)+秩(A一3E)=(    ).

选项 A、7
B、6
C、5
D、4

答案B

解析 B为实对称矩阵,可对角化,又因A~B,故B的特征值0、3(二重根)、一2必是A的特征值,且重数相同,故秩(A一3E)=4—2=2.
    解  由
    =λ(λ一3)(λ2一λ一6)=λ(λ一3)2(λ+2)
    及A~B知,B的特征值为0,3(重根)与一2,且它们也是A的特征值.又因B是实对称,必可对角化,因此A可对角化,那么A对于λ=3必有两个线性无关的特征向量,即方程组(3E—A)X=0的一个基础体系只含2个解向量.由4一秩(3E—A)=2得到
    秩(3E—A)=n一2=4—2=2.
    又因λ=1不是A的特征值,即∣E—A∣≠0,故秩(E—A)=4.于是
    秩(A—E)+秩(A一3E)=4+2=6.
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