(2017年)设a0=1，a1=0，的和函数． (Ⅰ)证明幂级数的收敛半径不小于1； (Ⅱ)证明(1一x)S’(x)－xS(x)=0(x∈(一1，1))，并求S(x)的表达式．

admin2018-07-24 51

问题 (2017年)设a₀=1，a₁=0，

的和函数．
(Ⅰ)证明幂级数

的收敛半径不小于1；
(Ⅱ)证明(1一x)S’(x)－xS(x)=0(x∈(一1，1))，并求S(x)的表达式．

选项

答案(Ⅰ)因为a₀=1，a₁=0， [*] 所以0≤a_n+1≤1．记R为幂级数[*]的收敛半径．当｜x｜＜1时，因为｜a_nxⁿ｜≤｜x｜ⁿ且级数[*]收敛，所以幂级数[*]绝对收敛，于是(一1，1)[*](一R，R)，故R≥1． (Ⅱ) [*] 解方程(1一x)S’(x)－xS(x)=0得 [*] 由S(0)=a₀=1得C=1，故 [*]

解析

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考研数学三

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