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(2017年)设a0=1,a1=0,的和函数. (Ⅰ)证明幂级数的收敛半径不小于1; (Ⅱ)证明(1一x)S’(x)-xS(x)=0(x∈(一1,1)),并求S(x)的表达式.
(2017年)设a0=1,a1=0,的和函数. (Ⅰ)证明幂级数的收敛半径不小于1; (Ⅱ)证明(1一x)S’(x)-xS(x)=0(x∈(一1,1)),并求S(x)的表达式.
admin
2018-07-24
50
问题
(2017年)设a
0
=1,a
1
=0,
的和函数.
(Ⅰ)证明幂级数
的收敛半径不小于1;
(Ⅱ)证明(1一x)S’(x)-xS(x)=0(x∈(一1,1)),并求S(x)的表达式.
选项
答案
(Ⅰ)因为a
0
=1,a
1
=0, [*] 所以0≤a
n+1
≤1. 记R为幂级数[*]的收敛半径.当|x|<1时,因为|a
n
x
n
|≤|x|
n
且级数[*]收敛, 所以幂级数[*]绝对收敛,于是(一1,1)[*](一R,R),故R≥1. (Ⅱ) [*] 解方程(1一x)S’(x)-xS(x)=0得 [*] 由S(0)=a
0
=1得C=1,故 [*]
解析
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考研数学三
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