设A，B为同阶方阵。 (Ⅰ)若A，B相似，证明A，B的特征多项式相等； (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(I)的逆命题不成立； (Ⅲ)当A，B为实对称矩阵时，证明(Ⅰ)的逆命题成立。

admin2019-03-07 59

问题设A，B为同阶方阵。
(Ⅰ)若A，B相似，证明A，B的特征多项式相等；
(Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(I)的逆命题不成立；
(Ⅲ)当A，B为实对称矩阵时，证明(Ⅰ)的逆命题成立。

选项

答案(Ⅰ)若A，B相似，那么存在可逆矩阵P，使P^－1AP=N，故｜λE一B｜=｜λE－P^－1AP｜=｜P^－1λEP－P^－1AP｜=｜P^－1(λE一A)P｜=｜P^－1 ｜λE一A｜｜P｜=｜λE一A｜。 (Ⅱ)令 [*] 那么｜λE－A｜=λ²=｜λE－B｜。假设A，B相似，则存在可逆矩阵P，使P^－1AP=B=0。从而与A=PBP^－1。矛盾，因此A与B不相似。 (Ⅲ)由A，B均为实对称矩阵知，A，B均相似于对角阵，设特征多项式的根都为λ₁，…，λ_n，则有A相似于 [*] 即存在可逆矩阵P，Q，使 [*] 于是(PQ^－1)^－1A(PQ^－1)=B。由PQ^－1为可逆矩阵知，A与B相似。

解析

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考研数学一

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设A，B为同阶方阵。 (Ⅰ)若A，B相似，证明A，B的特征多项式相等； (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(I)的逆命题不成立； (Ⅲ)当A，B为实对称矩阵时，证明(Ⅰ)的逆命题成立。

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设随机变量X与Y均服从正态分布，X～N(μ，42)，Y～N(μ，52)，记P1=P{X≤μ一4)，p=P{y≥μ+5)，则()

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已知A=(α1，α2，α3，α4)是四阶矩阵，α1，α2，α3，α4是四维列向量，若方程组Ax=β的通解是(1，2，2，1)T+k(1，-2，4，0)T，又B=(α3，α2，α1，β-α4)，求方程组Bx=3α1+5α2-α3的通解。

(1998年)确定常数λ，使在右半平面x＞0上的向量A(x，y)=2xy(x4+y2)λi—x2(x4+y2)λj为某二元函数u(x，y)的梯度，并求u(x，y)。

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(2001年)设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图形如图所示，则导函数y=f′(x)的图形为()

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已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(Ⅰ)乙箱中次品件数X的数学期望；(Ⅱ)从乙箱中任取一件产品是次品的概率。

酮症酸中毒时，机体可发生哪种代偿反应

病马一侧后肢发生浮肿，沿淋巴管出现念珠状结节，随后结节破溃，排出脓汁，长期不愈。该病可能是

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男，74岁。左腹股沟可复性包块10年，不能回纳8h，以左腹股沟斜疝嵌顿急诊手术，术中见部分嵌顿小肠肠管色暗，无蠕动，行部分肠切除，此时不宜行疝修补术的理由是

容积率与地块面积、建筑密度、建筑层数、建筑总面积、建筑基底面积等指标有密切关系，当各层建筑面积一致时，对它们之间的关系，下列叙述正确的是()。

[背景资料]某公路工程项目(K0+000～K6+000)依法进行招标。该项目有两座公路隧道，施工项目起止桩号分别位于K1+100～K2+200和K4+250～K5+300，有两座公路桥梁，一座位于K0+500，单跨为120m，另一座位于K3+60

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