2. 考研
  3. 设A，B为同阶方阵。 (Ⅰ)若A，B相似，证明A，B的特征多项式相等； (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(I)的逆命题不成立； (Ⅲ)当A，B为实对称矩阵时，证明(Ⅰ)的逆命题成立。

设A，B为同阶方阵。 (Ⅰ)若A，B相似，证明A，B的特征多项式相等； (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(I)的逆命题不成立； (Ⅲ)当A，B为实对称矩阵时，证明(Ⅰ)的逆命题成立。

admin2019-03-07  48
问题 设A，B为同阶方阵。
(Ⅰ)若A，B相似，证明A，B的特征多项式相等；
(Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(I)的逆命题不成立；
(Ⅲ)当A，B为实对称矩阵时，证明(Ⅰ)的逆命题成立。
选项
答案(Ⅰ)若A，B相似，那么存在可逆矩阵P，使P－1AP=N，故 ｜λE一B｜=｜λE－P－1AP｜=｜P－1λEP－P－1AP｜=｜P－1(λE一A)P｜=｜P－1 ｜λE一A｜｜P｜=｜λE一A｜。 (Ⅱ)令 [*] 那么｜λE－A｜=λ2=｜λE－B｜。 假设A，B相似，则存在可逆矩阵P，使P－1AP=B=0。从而与A=PBP－1。矛盾，因此A与B不相似。 (Ⅲ)由A，B均为实对称矩阵知，A，B均相似于对角阵，设特征多项式的根都为λ1，…，λn，则有A相似于 [*] 即存在可逆矩阵P，Q，使 [*] 于是(PQ－1)－1A(PQ－1)=B。由PQ－1为可逆矩阵知，A与B相似。
解析
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考研数学一

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