设A，B为同阶方阵。 (Ⅰ)若A，B相似，证明A，B的特征多项式相等； (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(I)的逆命题不成立； (Ⅲ)当A，B为实对称矩阵时，证明(Ⅰ)的逆命题成立。

admin2019-03-07 65

问题设A，B为同阶方阵。
(Ⅰ)若A，B相似，证明A，B的特征多项式相等；
(Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(I)的逆命题不成立；
(Ⅲ)当A，B为实对称矩阵时，证明(Ⅰ)的逆命题成立。

选项

答案(Ⅰ)若A，B相似，那么存在可逆矩阵P，使P^－1AP=N，故｜λE一B｜=｜λE－P^－1AP｜=｜P^－1λEP－P^－1AP｜=｜P^－1(λE一A)P｜=｜P^－1 ｜λE一A｜｜P｜=｜λE一A｜。 (Ⅱ)令 [*] 那么｜λE－A｜=λ²=｜λE－B｜。假设A，B相似，则存在可逆矩阵P，使P^－1AP=B=0。从而与A=PBP^－1。矛盾，因此A与B不相似。 (Ⅲ)由A，B均为实对称矩阵知，A，B均相似于对角阵，设特征多项式的根都为λ₁，…，λ_n，则有A相似于 [*] 即存在可逆矩阵P，Q，使 [*] 于是(PQ^－1)^－1A(PQ^－1)=B。由PQ^－1为可逆矩阵知，A与B相似。

解析

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考研数学一

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设A，B为同阶方阵。 (Ⅰ)若A，B相似，证明A，B的特征多项式相等； (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(I)的逆命题不成立； (Ⅲ)当A，B为实对称矩阵时，证明(Ⅰ)的逆命题成立。

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