2. 考研
  3. 已知向量组(I)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)α1，α2，α3，α5，如果向量组的秩分别为R(I)=R(Ⅱ)=3，R(Ⅲ)=4，求证向量组α1，α2，α3，α5一α4的秩为4．

已知向量组(I)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)α1，α2，α3，α5，如果向量组的秩分别为R(I)=R(Ⅱ)=3，R(Ⅲ)=4，求证向量组α1，α2，α3，α5一α4的秩为4．

admin2020-09-25  42
问题 已知向量组(I)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)α1，α2，α3，α5，如果向量组的秩分别为R(I)=R(Ⅱ)=3，R(Ⅲ)=4，求证向量组α1，α2，α3，α5一α4的秩为4．
选项
答案由R(I)=R(Ⅱ)=3可知，α1，α2，α3线性无关，而α1，α2，α3，α4线性相关，从而可得α4可由α1，α2，α3唯一线性表示，从而有一组数l1，l2，l3，使α4=l1α1+l2α2+l3α3．若有关系式x1α1+x2α2+x3α3+x4(α5一α4)=0，将α4=l1α1+l2α2+l3α3代入可得 x1α1+x2α2+x3α3+x4(α5—l1α1—l2α2一l3α3)=0， 整理可得(x1一l1x4)α1+(x2—l2x4)α2+(x3一l3x4)α3+x4α5=0． 又由于R(Ⅲ)=4，则α1，α2，α3，α5线性无关，所以有齐次线性方程组： [*] 解得：x1=x2=x3=x4=0．从而向量组α1，α2，α3，α5一α4线性无关． 所以R(α1，α2，α3，α5一α4)=4．
解析
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考研数学三

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