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已知向量组(I)α1,α2,α3;(Ⅱ)α1,α2,α3,α4;(Ⅲ)α1,α2,α3,α5,如果向量组的秩分别为R(I)=R(Ⅱ)=3,R(Ⅲ)=4,求证向量组α1,α2,α3,α5一α4的秩为4.
已知向量组(I)α1,α2,α3;(Ⅱ)α1,α2,α3,α4;(Ⅲ)α1,α2,α3,α5,如果向量组的秩分别为R(I)=R(Ⅱ)=3,R(Ⅲ)=4,求证向量组α1,α2,α3,α5一α4的秩为4.
admin
2020-09-25
38
问题
已知向量组(I)α
1
,α
2
,α
3
;(Ⅱ)α
1
,α
2
,α
3
,α
4
;(Ⅲ)α
1
,α
2
,α
3
,α
5
,如果向量组的秩分别为R(I)=R(Ⅱ)=3,R(Ⅲ)=4,求证向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
5
一α
4
的秩为4.
选项
答案
由R(I)=R(Ⅱ)=3可知,α
1
,α
2
,α
3
线性无关,而α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关,从而可得α
4
可由α
1
,α
2
,α
3
唯一线性表示,从而有一组数l
1
,l
2
,l
3
,使α
4
=l
1
α
1
+l
2
α
2
+l
3
α
3
.若有关系式x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
(α
5
一α
4
)=0,将α
4
=l
1
α
1
+l
2
α
2
+l
3
α
3
代入可得 x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
(α
5
—l
1
α
1
—l
2
α
2
一l
3
α
3
)=0, 整理可得(x
1
一l
1
x
4
)α
1
+(x
2
—l
2
x
4
)α
2
+(x
3
一l
3
x
4
)α
3
+x
4
α
5
=0. 又由于R(Ⅲ)=4,则α
1
,α
2
,α
3
,α
5
线性无关,所以有齐次线性方程组: [*] 解得:x
1
=x
2
=x
3
=x
4
=0.从而向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
5
一α
4
线性无关. 所以R(α
1
,α
2
,α
3
,α
5
一α
4
)=4.
解析
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考研数学三
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