2. 考研
  3. 设方阵A满足A2－A－2E＝O，证明A及A＋2E都可逆，并求A-1及(A＋2E)-1．

设方阵A满足A2－A－2E＝O，证明A及A＋2E都可逆，并求A-1及(A＋2E)-1．

admin2019-05-14  39
问题 设方阵A满足A2－A－2E＝O，证明A及A＋2E都可逆，并求A-1及(A＋2E)-1．
选项
答案由A2－A－2E＝0，得A(A－E)＝2E．两端同时取行列式｜A(A－E)｜＝2，即｜A｜｜A－E｜＝2，故｜A｜≠0，所以A可逆． 而由A2－A－2E＝0可得 A＋2E＝A2． 两端同时取行列式 ｜A＋2E｜＝｜A2｜＝｜A2｜≠0， 所以A＋2E也可逆． 由A(A－B)＝2E，得A-1＝[*](A－E)． 又A2－A－2E＝0，通过添加项并整理可得(A＋2E)(A－3E)＝－4E，则有 (A＋2E)-1(A＋2E)(A－3E)＝－4(A＋2E)-1， 因此(A＋2E)-1＝－[*](A－3E)．
解析
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考研数学一

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