求正交变换化二次型x12+x22+x32－4x1x2－4x2x3－4x1x3为标准形．

admin2018-06-15 71

问题求正交变换化二次型x₁²+x₂²+x₃²－4x₁x₂－4x₂x₃－4x₁x₃为标准形．

选项

答案二次型矩阵 [*] 由特征多项式 |λE－A| [*] =(λ+3)(λ－3)²，得特征值为λ₁=λ₂=3，λ₃=－3．由(3E－A)x=0得基础解系α₁=(－1，1，0)^T，α₂=(－1，0，1)^T，即λ=3的特征向量是α₁，α₂．由(－3E－A)x=0得基础解系α₃=(1，1，1)^T．对α₁，α₂经Scemidt正交化，有 β₁=α₁，β₂ [*] 单位化，得 [*] 那么，令x=Qy，其中Q=(γ₁，γ₂，γ₃)，则有f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx=y^T[*]y=3y₁²+3y₂²－3y₃²．

解析

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考研数学一

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