设函数y=f(x)在(0,+∞)内有界且可导,则( )

admin2021-01-19  25

问题 设函数y=f(x)在(0,+∞)内有界且可导,则(    )

选项 A、 
B、 
C、 
D、 

答案B

解析 方法一:取f(x)=sinx2/x,则f(x)在(0,+∞)内有界且可导,并且

取f(x)=sinx,在(0,+∞)内有界且可导,f(x)=1,可排除C,D。
故正确答案选B。
方法二:若f’(x)≠0,不妨设f(x)=1>0,从而存在X>0,当x>X时,有f’(x)>1/2,对任意x>X,在[x,2x]上由拉格朗日定理得
f(2x)-f(x)=f’(ξ)(2x-x),x<ξ<2x,
则f(2x)-f(x)>x/2,从而有f(x)=∞,与f(x)有界矛盾,故必有f’(x)=0,故答案选B。
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