设函数y=f(x)在(0，+∞)内有界且可导，则( )

admin2021-01-19 29

问题设函数y=f(x)在(0，+∞)内有界且可导，则( )

选项 A、
B、
C、
D、

答案B

解析方法一：取f(x)=sinx²／x，则f(x)在(0，+∞)内有界且可导，并且

取f(x)=sinx，在(0，+∞)内有界且可导，

f(x)=1，可排除C，D。
故正确答案选B。
方法二：若

f’(x)≠0，不妨设

f(x)=1＞0，从而存在X＞0，当x＞X时，有f’(x)＞1／2，对任意x＞X，在[x，2x]上由拉格朗日定理得
f(2x)－f(x)=f’(ξ)(2x－x)，x＜ξ＜2x，
则f(2x)－f(x)＞x／2，从而有

f(x)=∞，与f(x)有界矛盾，故必有

f’(x)=0，故答案选B。

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