设3元实二次型f(x)=xTAx经正交变换x=Cy化成f(x)=y12+y22．是Ax=0的解向量． (1)求所用的正交变换x=Cy； (2)求A； (3)写出该实二次型f(x)的表达式．

admin2019-05-11 40

问题设3元实二次型f(x)=x^TAx经正交变换x=Cy化成f(x)=y₁²+y₂²．

是Ax=0的解向量．
(1)求所用的正交变换x=Cy；
(2)求A；
(3)写出该实二次型f(x)的表达式．

选项

答案(1)由二次型f(x)=x^TAx经正交变换x=Cy化成f(x)=y₁²+y₂²知λ₁=λ₂=1和λ₃=0是A的3个特征值，再由α是Ax=0的解向量知α是A的0特征值对应的特征向量．若设特征值λ₁=λ₂=1所对应的特征向量为x，则有xα=0，即x₂一x₃=0，解之得[*] 其中k₁，k₂是不同时为0的任意常数．于是得λ₁=λ₂=1所对应的特征向量．取 [*]

解析本题考查用正交变换化二次型为标准形的逆问题．

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考研数学二

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设3元实二次型f(x)=xTAx经正交变换x=Cy化成f(x)=y12+y22．是Ax=0的解向量． (1)求所用的正交变换x=Cy； (2)求A； (3)写出该实二次型f(x)的表达式．

考研数学二

设函数f(χ)在区间[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)＋f(1)＋f(2)＝3，f(3)＝1．证明：存在ξ∈(0，3)，使得f′(ξ)＝0．

设f′(lnχ)＝1＋χ，且f(0)＝1，求f(χ)．

设抛物线y＝aχ2＋bχ＋c(a＜0)满足：(1)过点(0，0)及(1，2)；(2)抛物线y＝aχ2＋bχ＋c与抛物线y＝－χ2＋2χ所围图形的面积最小，求a，b，c的值．

证明：，其中a＞0为常数．

已知二次型f＝2χ12＋3χ22＋3χ32＋2aχ2χ3(a＞0)，通过正交变换化成标准形f＝y12＋2y22＋5y32．求参数a及所用的正交变换矩阵．

设A为n阶矩阵，α1，α2，α3为n维列向量，其中α1≠0，且Aα1＝α1，Aα2＝α1＋α2，Aα3＝α2＋α3，证明：α1，α2，α3线性无关．

设直线y＝aχ与抛物线y＝χ2所围成的图形面积为S1，它们与直线χ＝1所围成的图形面积为S2，且a＜1．(1)确定a，使S1＋S2达到最小，并求出最小值；(2)求该最小值所对应的平面图形绕χ轴旋转一周所得旋转体的体积．

设f(χ)二阶连续可导且f(0)＝f′(0)＝0，f〞(χ)＞0．曲线y＝f(χ)上任一点(χ，f(χ))(χ≠0)处作切线，此切线在χ轴上的截距为u，求．

设函数y＝y(χ)满足微分方程y〞－3y′＋2y＝2eχ，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线y＝χ2－χ＋1在该点的切线重合，求函数y＝y(χ)．

曲线y=x2+x(x＜0)上曲率为的点的坐标是_________．

社会工作者小王拟运用“行为契约法”帮助初一学生养成良好的学习及生活习惯。在服务过程中，小王首先应该()。

A．祛风止痉，燥湿化痰，解毒散结B．息风止痉，解毒散结，通络止痛C．息风止痉，解毒散结，祛风止痛D．息风止痉，平肝潜阳，祛风除痹蜈蚣的功效是

A．3500～4000cGyB．4500～5000cGyC．5500～6000cGyD．6500～7000cGyE．7000～7600cGy膀胱耐受剂量

函数y=(5-x)号的极值可疑点的个数是：

关于涵管处的填筑方法，采用涵管两侧对称水平分层填筑，层铺厚度以()cm为宜。

中药材

指令流水线中，不同的指令在指令流水的不同功能段中可以()。

“材料控制，测量和下料，机器设备运转”等，应属于哪种职能范围内的业务活动过程?

在考生文件夹下HUN文件夹中建立一个新文件夹CALCUT。

设3元实二次型f(x)=xTAx经正交变换x=Cy化成f(x)=y12+y22． 是Ax=0的解向量． (1)求所用的正交变换x=Cy； (2)求A； (3)写出该实二次型f(x)的表达式．

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设f′(lnχ)＝1＋χ，且f(0)＝1，求f(χ)．

设抛物线y＝aχ2＋bχ＋c(a＜0)满足：(1)过点(0，0)及(1，2)；(2)抛物线y＝aχ2＋bχ＋c与抛物线y＝－χ2＋2χ所围图形的面积最小，求a，b，c的值．

证明：，其中a＞0为常数．

已知二次型f＝2χ12＋3χ22＋3χ32＋2aχ2χ3(a＞0)，通过正交变换化成标准形f＝y12＋2y22＋5y32．求参数a及所用的正交变换矩阵．

设A为n阶矩阵，α1，α2，α3为n维列向量，其中α1≠0，且Aα1＝α1，Aα2＝α1＋α2，Aα3＝α2＋α3，证明：α1，α2，α3线性无关．

设直线y＝aχ与抛物线y＝χ2所围成的图形面积为S1，它们与直线χ＝1所围成的图形面积为S2，且a＜1．(1)确定a，使S1＋S2达到最小，并求出最小值；(2)求该最小值所对应的平面图形绕χ轴旋转一周所得旋转体的体积．

设f(χ)二阶连续可导且f(0)＝f′(0)＝0，f〞(χ)＞0．曲线y＝f(χ)上任一点(χ，f(χ))(χ≠0)处作切线，此切线在χ轴上的截距为u，求．

设函数y＝y(χ)满足微分方程y〞－3y′＋2y＝2eχ，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线y＝χ2－χ＋1在该点的切线重合，求函数y＝y(χ)．

曲线y=x2+x(x＜0)上曲率为的点的坐标是_________．

社会工作者小王拟运用“行为契约法”帮助初一学生养成良好的学习及生活习惯。在服务过程中，小王首先应该()。

A．祛风止痉，燥湿化痰，解毒散结B．息风止痉，解毒散结，通络止痛C．息风止痉，解毒散结，祛风止痛D．息风止痉，平肝潜阳，祛风除痹蜈蚣的功效是

A．3500～4000cGyB．4500～5000cGyC．5500～6000cGyD．6500～7000cGyE．7000～7600cGy膀胱耐受剂量

函数y=(5-x)号的极值可疑点的个数是：

关于涵管处的填筑方法，采用涵管两侧对称水平分层填筑，层铺厚度以()cm为宜。

中药材

指令流水线中，不同的指令在指令流水的不同功能段中可以()。

“材料控制，测量和下料，机器设备运转”等，应属于哪种职能范围内的业务活动过程?

在考生文件夹下HUN文件夹中建立一个新文件夹CALCUT。

设3元实二次型f(x)=xTAx经正交变换x=Cy化成f(x)=y12+y22．是Ax=0的解向量． (1)求所用的正交变换x=Cy； (2)求A； (3)写出该实二次型f(x)的表达式．