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设3元实二次型f(x)=xTAx经正交变换x=Cy化成f(x)=y12+y22. 是Ax=0的解向量. (1)求所用的正交变换x=Cy; (2)求A; (3)写出该实二次型f(x)的表达式.
设3元实二次型f(x)=xTAx经正交变换x=Cy化成f(x)=y12+y22. 是Ax=0的解向量. (1)求所用的正交变换x=Cy; (2)求A; (3)写出该实二次型f(x)的表达式.
admin
2019-05-11
41
问题
设3元实二次型f(x)=x
T
Ax经正交变换x=Cy化成f(x)=y
1
2
+y
2
2
.
是Ax=0的解向量.
(1)求所用的正交变换x=Cy;
(2)求A;
(3)写出该实二次型f(x)的表达式.
选项
答案
(1)由二次型f(x)=x
T
Ax经正交变换x=Cy化成f(x)=y
1
2
+y
2
2
知λ
1
=λ
2
=1和λ
3
=0是A的3个特征值,再由α是Ax=0的解向量知α是A的0特征值对应的特征向量.若设特征值λ
1
=λ
2
=1所对应的特征向量为x,则有xα=0,即x
2
一x
3
=0,解之得[*] 其中k
1
,k
2
是不同时为0的任意常数.于是得λ
1
=λ
2
=1所对应的特征向量. 取 [*]
解析
本题考查用正交变换化二次型为标准形的逆问题.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/kNV4777K
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考研数学二
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