设3元实二次型f(x)=xTAx经正交变换x=Cy化成f(x)=y12+y22. 是Ax=0的解向量. (1)求所用的正交变换x=Cy; (2)求A; (3)写出该实二次型f(x)的表达式.

admin2019-05-11  41

问题 设3元实二次型f(x)=xTAx经正交变换x=Cy化成f(x)=y12+y22

是Ax=0的解向量.
(1)求所用的正交变换x=Cy;
(2)求A;
(3)写出该实二次型f(x)的表达式.

选项

答案(1)由二次型f(x)=xTAx经正交变换x=Cy化成f(x)=y12+y22知λ12=1和λ3=0是A的3个特征值,再由α是Ax=0的解向量知α是A的0特征值对应的特征向量.若设特征值λ12=1所对应的特征向量为x,则有xα=0,即x2一x3=0,解之得[*] 其中k1,k2是不同时为0的任意常数.于是得λ12=1所对应的特征向量. 取 [*]

解析 本题考查用正交变换化二次型为标准形的逆问题.
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