已知A是3阶实对称矩阵，特征值是3，﹣6，0，矩阵A的属于特征值λ＝3的特征向量是p1＝(1，a，1)T，属于特征值λ＝﹣6的特征向量是p2＝(a，a＋1，1)T，求矩阵A．

admin2020-06-05 34

问题已知A是3阶实对称矩阵，特征值是3，﹣6，0，矩阵A的属于特征值λ＝3的特征向量是p₁＝(1，a，1)^T，属于特征值λ＝﹣6的特征向量是p₂＝(a，a＋1，1)^T，求矩阵A．

选项

答案因为A是实对称矩阵，且有3个不同的特征值，故而其所对应的特征向量相互正交，于是p₁^Tp₂＝a＋a(a＋1)＋1＝0，即可得a＝﹣1．不妨设矩阵A的属于特征值λ＝0的特征向量为p₃＝(x₁，x₂，x₃)^T，则有 [*] 解之得 p₃＝(1，2，1)^T 再根据特征值与特征向量的定义可得A(p₁，p₂，p₃)＝(3p₁，﹣6p₂，0)，进而 A＝(3p₁，﹣6p₂，0)(p₁，p₂，p₃)-1 [*]

解析

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已知A是3阶实对称矩阵，特征值是3，﹣6，0，矩阵A的属于特征值λ＝3的特征向量是p1＝(1，a，1)T，属于特征值λ＝﹣6的特征向量是p2＝(a，a＋1，1)T，求矩阵A．

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