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已知二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2．a1，a2，…，an满足什么条件时f(x1，x2，…，xn)正定?
已知二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2．a1，a2，…，an满足什么条件时f(x1，x2，…，xn)正定?
admin
2017-10-21
65
问题
已知二次型f(x
1
，x
2
，…，x
n
)=(x
1
+a
1
x
2
)
2
+(x
2
+a
2
x
3
)
2
+…+(x
n
+a
n
x
1
)
2
．a
1
，a
2
，…，a
n
满足什么条件时f(x
1
，x
2
，…，x
n
)正定?
选项
答案
按正定的定义来检查． 显然对任何(x
1
，x
2
，…，x
n
)，f(x
1
，x
2
，…，x
n
)≥0．并且等号成立的充要条件为x
1
+a
1
x
2
=x
2
+a
2
x
3
=…=x
n
+a
n
x
1
=0．于是，f(x
1
，x
2
，…，x
n
)正定的充要条件为齐次方程组 [*] 没有非零解，即其系数矩阵 [*] 可逆．｜A｜=1+(一1)
n-1
a
1
a
2
…a
n
．于是，f正定的充要条件为a
1
a
2
…a
n
≠(一1)
n
．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/kOH4777K
0
考研数学三
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