2. 考研
  3. 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关的列向量，其中α1是齐次方程组Aχ＝0的解，又知Aα2＝α1＋2α2，Aα3＝α1－3α2＋2α3． (Ⅰ)求矩阵A的特征值与特征向量； (Ⅱ)判断A是否和对角矩阵相似并说明理由； (Ⅲ

设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关的列向量，其中α1是齐次方程组Aχ＝0的解，又知Aα2＝α1＋2α2，Aα3＝α1－3α2＋2α3． (Ⅰ)求矩阵A的特征值与特征向量； (Ⅱ)判断A是否和对角矩阵相似并说明理由； (Ⅲ

admin2018-06-12  65
问题 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关的列向量，其中α1是齐次方程组Aχ＝0的解，又知Aα2＝α1＋2α2，Aα3＝α1－3α2＋2α3．
    (Ⅰ)求矩阵A的特征值与特征向量；
    (Ⅱ)判断A是否和对角矩阵相似并说明理由；
    (Ⅲ)求秩r(A＋E)．
选项
答案(Ⅰ)据已知条件，有 A(α1，α2，α3)＝(0，α1＋2α2，α1－3α2＋2α3)＝(α1，α2，α3)[*] 记P＝(α1，α2，α3)，B＝[*]，由于α1，α2，α3线性无关，故P是可逆矩阵．于是有P-1AP＝B， 从而A和B相似．因为 ｜λE－B｜＝[*]＝λ(λ－2)2， 所以矩阵B的特征值是2，2，0，亦即矩阵A的特征值是2，2，0． 对应于λ1＝λ2＝2，解齐次线性方程组(2E－B)χ＝0得基础解系ξ1＝(1，2，0)T． 如果βα＝λα，则(p-1AP)α＝λα，有A(Pα)＝λ(Pα)，那么(α1，α2，α3)[*]＝α1＋2α2是矩阵A对应于特征值λ＝2的特征向量． 又Aα1＝0＝0α1，知α1是矩阵A对应于特征值λ＝0的特征向量． 从而矩阵A对应于λ1＝λ2＝2的特征向量是k1(α1＋2α2)，k1≠0； 矩阵A对应于λ3＝0的特征向量是k2α1，k2≠0． (Ⅱ)因为秩r(2E－E)＝2，矩阵B对应于λ1＝λ2＝2只有一个线性无关的特征向量，矩阵B不和对角矩阵相似，所以A不和对角矩阵相似． (Ⅲ)因为A～B，有A＋E～B＋E．从而r(A＋E)＝r(B＋E)＝3．
解析
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考研数学一

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