2. 考研
  3. 设4元齐次线性方程组(1)为 而已知另一4元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为 α1＝(2，－1，a＋2，1)T，α2＝(－1，2，4，a＋8)T． (1)求方程组(1)的一个基础解系； (2)当a为何值时，方程组(1)与

设4元齐次线性方程组(1)为 而已知另一4元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为 α1＝(2，－1，a＋2，1)T，α2＝(－1，2，4，a＋8)T． (1)求方程组(1)的一个基础解系； (2)当a为何值时，方程组(1)与

admin2016-05-09  89
问题 设4元齐次线性方程组(1)为
    而已知另一4元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为
    α1＝(2，－1，a＋2，1)T，α2＝(－1，2，4，a＋8)T．
    (1)求方程组(1)的一个基础解系；
    (2)当a为何值时，方程组(1)与(2)有非零公共解?若有，求出所有非零公共解．
选项
答案(1)对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换，有 [*] 由于n－r(A)＝4－2＝2，基础解系由2个线性无关的解向量所构成，取χ3，χ4为自由变量，得β1＝(5，－3，1，0)T，β2＝(－3，2，0，1)T是方程组(1)的基础解系． (2)设η是方程组(1)与(2)的非零公共解，则 η＝k1β1＋k2β2＝l1α1＋l2α2，其中k1，k2与l1，l2均是不全为0的常数． 由k1β1＋k2β2－l1α1－l2α2＝0，得齐次方程组(3) [*] 对方程组(3)的系数矩阵作初等行变换，有 [*] 当a≠－1时，则(3)[*]那么方程组(3)只有零解，即k1＝k2＝l1＝l2＝0，于是η＝0，不合题意． 当a＝－1时，方程组(3)同解变形为[*]解得k1＝l1＋4l2，k2＝l1＋7l2．于是η＝(l1＋4l2)β1＋(l1＋7l2)β2＝l1α1＋l2α2． 所以当a＝－1时，方程组(1)与(2)有非零公共解，且公共解是 l1(2，－1，1，1)T＋l2(－1，2，4，7)T，l1，l2为任意常数．
解析
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考研数学一

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