设函数Q(x,y)在平面xOy上具有一阶连续偏导数,曲线积分∫L2xydx+Q(x,y)dy与路径无关,并且对任意t恒有∫(0,0)(t,1)2xyydx+Q(x,y)dy=∫(0,0)(1,t)2xydx+Q(x,y)dy,求Q(x,y).

admin2016-01-15  51

问题 设函数Q(x,y)在平面xOy上具有一阶连续偏导数,曲线积分∫L2xydx+Q(x,y)dy与路径无关,并且对任意t恒有∫(0,0)(t,1)2xyydx+Q(x,y)dy=∫(0,0)(1,t)2xydx+Q(x,y)dy,求Q(x,y).

选项

答案根据曲线积分和路径无关的条件,可知 [*] 因此有Q(x,y)=x2+C(y)成立,其中C(y)为待定函数 又因为 ∫(0,0)(t,1)2xydx+Q(x,y)dy=∫01[t2+C(y)]dy=t2+∫01C(y)dy, ∫(0,0)(1,t)2xydx+Q(x,y)dy=∫0t[t2+C(y)]dy=t2+∫0tC(y)dy, 由已知可知 t2+∫01C(y)dy=t+∫0tC(y)dy, 两边对t求导可得2t=1+C(t),即C(y)=2y一1,因此有 Q(x,y)=x2+2y一1.

解析
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