2. 考研
  3. 求f(x，y)=x2一y2+2在椭圆域上的最大值与最小值．

求f(x，y)=x2一y2+2在椭圆域上的最大值与最小值．

admin2021-08-02  42
问题 求f(x，y)=x2一y2+2在椭圆域上的最大值与最小值．
选项
答案f(x，y)=x2—y2+2在区域D=[*]的最值应分为两种情形考虑：在椭圆域D的内部考虑无约束极值问题，在椭圆域D的边界上考虑条件极值． 方法一 考查f(x，y)=x2—y2+2在区域[*]内的极值． 令 [*] 可求得x=0，y=0，即f(x，y)在x2+[*]＜1内有唯一驻点(0，0)． 在[*]上，记y2=4—4x2，因此有 f(x，y)=x2一(4—4x2)+2=5x2一2=g(x)，一1≤x≤1， 令[*]=10x—0，得x=0． 当x=0时，y=±2；当x=±1时，y=0． f(±1，0)=3，f(0，±2)=一2． 又 f(0，0)=2． 因此f(x，y)在D上的最大值为3，最小值为一2． 方法二 在区域[*]内解法同方法一． 在椭圆[*]上，利用拉格朗日乘数法求极值． 设L=x2一y2+2+[*]，由 [*] 求得4个可能的极值点M1(0，2)，M2(0，一2)，M3(1，0)，M4(一1，0)． f(M1)一2，f(M2)=2，f(M3)一3，f(M4)=3， 又f(0，0)=2，可知f(x，y)在D上的最大值为3，最小值为一2．
解析
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考研数学二

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