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求f(x,y)=x2一y2+2在椭圆域上的最大值与最小值.
求f(x,y)=x2一y2+2在椭圆域上的最大值与最小值.
admin
2021-08-02
76
问题
求f(x,y)=x
2
一y
2
+2在椭圆域
上的最大值与最小值.
选项
答案
f(x,y)=x
2
—y
2
+2在区域D=[*]的最值应分为两种情形考虑:在椭圆域D的内部考虑无约束极值问题,在椭圆域D的边界上考虑条件极值. 方法一 考查f(x,y)=x
2
—y
2
+2在区域[*]内的极值. 令 [*] 可求得x=0,y=0,即f(x,y)在x
2
+[*]<1内有唯一驻点(0,0). 在[*]上,记y
2
=4—4x
2
,因此有 f(x,y)=x
2
一(4—4x
2
)+2=5x
2
一2=g(x),一1≤x≤1, 令[*]=10x—0,得x=0. 当x=0时,y=±2;当x=±1时,y=0. f(±1,0)=3,f(0,±2)=一2. 又 f(0,0)=2. 因此f(x,y)在D上的最大值为3,最小值为一2. 方法二 在区域[*]内解法同方法一. 在椭圆[*]上,利用拉格朗日乘数法求极值. 设L=x
2
一y
2
+2+[*],由 [*] 求得4个可能的极值点M
1
(0,2),M
2
(0,一2),M
3
(1,0),M
4
(一1,0). f(M
1
)一2,f(M
2
)=2,f(M
3
)一3,f(M
4
)=3, 又f(0,0)=2,可知f(x,y)在D上的最大值为3,最小值为一2.
解析
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考研数学二
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