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  3. 设A为n阶矩阵． 证明：齐次线性方程组Anx=0与An+1x=0是同解线性方程组；

设A为n阶矩阵． 证明：齐次线性方程组Anx=0与An+1x=0是同解线性方程组；

admin2017-06-14  51
问题 设A为n阶矩阵．
证明：齐次线性方程组Anx=0与An+1x=0是同解线性方程组；
选项
答案显然，线性方程组Anx=0的解必是线性方程组An+x=0的解；反过来，若An+1x=0只有零解，则由行列式｜An+1｜=｜A｜n+1≠0，可得｜A｜≠0．因此｜An｜=｜A ｜n≠0，故Anx=0也只有零解，即Anx=0与An+1x=0为同解方程组． 若An+1x=0有非零解，设存在β≠0使得An+1β=0，但β不是Anx=0的解，即Anβ≠0．则由(1)知β，Aβ，A2β，…，Akβ线性无关，且An+1β=，An+1(Aβ)=A(An+1β)=0，…， An+1(Anβ)=0，即它们都是线性方程组An+1x=0的解，因此An+1x=0至少有n+1个线性无关的解，这与方程组An+1x=0的基础解系至多有n个线性无关解矛盾，所以An=1x=0的解都是Anx=0的解，即Anx=0与An=1x=为同解方程组．
解析
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考研数学一

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