设A为n阶矩阵．证明：齐次线性方程组Anx=0与An+1x=0是同解线性方程组；

admin2017-06-14 58

问题设A为n阶矩阵．
证明：齐次线性方程组Aⁿx=0与Aⁿ⁺¹x=0是同解线性方程组；

选项

答案显然，线性方程组Aⁿx=0的解必是线性方程组Aⁿ⁺x=0的解；反过来，若Aⁿ⁺¹x=0只有零解，则由行列式｜Aⁿ⁺¹｜=｜A｜ⁿ⁺¹≠0，可得｜A｜≠0．因此｜Aⁿ｜=｜A ｜ⁿ≠0，故Aⁿx=0也只有零解，即Aⁿx=0与Aⁿ⁺¹x=0为同解方程组．若Aⁿ⁺¹x=0有非零解，设存在β≠0使得Aⁿ⁺¹β=0，但β不是Aⁿx=0的解，即Aⁿβ≠0．则由(1)知β，Aβ，A²β，…，A^kβ线性无关，且Aⁿ⁺¹β=，Aⁿ⁺¹(Aβ)=A(Aⁿ⁺¹β)=0，…， Aⁿ⁺¹(Aⁿβ)=0，即它们都是线性方程组Aⁿ⁺¹x=0的解，因此Aⁿ⁺¹x=0至少有n+1个线性无关的解，这与方程组Aⁿ⁺¹x=0的基础解系至多有n个线性无关解矛盾，所以Aⁿ⁼¹x=0的解都是Aⁿx=0的解，即Aⁿx=0与Aⁿ⁼¹x=为同解方程组．

解析

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考研数学一

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设A为n阶矩阵．证明：齐次线性方程组Anx=0与An+1x=0是同解线性方程组；

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设有向量组(I)：α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，-1，a+2)T和向量组(Ⅱ)：β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T．当a为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)不等价?

设矩阵，则A3的秩为_________．

设矩阵，且｜A｜=-1．又设A的伴随矩阵A*有特征值λ0，属于λ0的特征向量为a=(-1，-1，1)T，求a，b，c及λ0的值．

设Γ：x=x(t)，y=y(t)(a＜t＜β)是区域D内的光滑曲线，即x(t)，y(t)，(a，β)有连续的导数且x2(t)+y2(t)≠0，f(x，y)在D内有连续的偏导数，若P0∈Γ是f(x，y)在Γ上的极值点，求证：f(x，y)在点P0沿Γ的切线方向

设λ0是n阶矩阵A的特征值，且齐次线性方程组(λ0E-A)X=0的基础解系为η1，η2，则A的属于λ0的全部特征向量为()．

已知4阶方阵A=(a1，a2，a3，a4)，a1，a2，a3，a4均为4维列向量，其a2，a3，a4线性无关，a1=2a1-a3，如果β=a1+a2+a3+a4，求线性方程组Ax=β的通解．

(2009年试题，17)椭球面S1是椭圆绕x轴旋转而成，圆锥面S2是过点(4，0)且与椭圆相切的直线绕轴旋转而成．求S1与S2之间的立体体积．

(1998年试题，九)设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数．又设f(x)在区间(0，1)内可导，且证明(1)中的x0是唯一的．

设f(x，y)，φ(x，y)均有连续偏导数，点M0(x0，y0)是函数z=f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，又φ’(x0，y0)≠0，求证：曲面z=f(x，y)与柱面φ(x，y)=0的交线F在点P0(z0，y0,z0)(z0=f(x0，y0

对病人营养状况的评定有以下方法______。

设函数f(x，y)在x2+y2≤1上连续，使成立的充分条件是()。

降别适用于那些实施周期长、工期要求紧迫的大型复杂建设工程的工程项目组织管理模式是()。

基金的募集一般要经过()四个步骤。

资本市场的主要特点有()。

下列句子中，没有语病的是()。

热爱学生是教师应具有的()。

青春期的特点主要包括

直线x—y=k与圆y2=一x2+4x没有交点．(1)k＞5(2)

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直线x—y=k与圆y2=一x2+4x没有交点．(1)k＞5(2)

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