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设A为n阶矩阵. 证明:齐次线性方程组Anx=0与An+1x=0是同解线性方程组;
设A为n阶矩阵. 证明:齐次线性方程组Anx=0与An+1x=0是同解线性方程组;
admin
2017-06-14
20
问题
设A为n阶矩阵.
证明:齐次线性方程组A
n
x=0与A
n+1
x=0是同解线性方程组;
选项
答案
显然,线性方程组A
n
x=0的解必是线性方程组A
n+
x=0的解;反过来,若A
n+1
x=0只有零解,则由行列式|A
n+1
|=|A|
n+1
≠0,可得|A|≠0.因此|A
n
|=|A |
n
≠0,故A
n
x=0也只有零解,即A
n
x=0与A
n+1
x=0为同解方程组. 若A
n+1
x=0有非零解,设存在β≠0使得A
n+1
β=0,但β不是A
n
x=0的解,即A
n
β≠0.则由(1)知β,Aβ,A
2
β,…,A
k
β线性无关,且A
n+1
β=,A
n+1
(Aβ)=A(A
n+1
β)=0,…, A
n+1
(A
n
β)=0,即它们都是线性方程组A
n+1
x=0的解,因此A
n+1
x=0至少有n+1个线性无关的解,这与方程组A
n+1
x=0的基础解系至多有n个线性无关解矛盾,所以A
n=1
x=0的解都是A
n
x=0的解,即A
n
x=0与A
n=1
x=为同解方程组.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/kdu4777K
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考研数学一
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