2. 考研
  3. 设λ0为A的特征值． (1)证明：AT与A特征值相等； (2)求A2，A2+2A+3E的特征值； (3)若|A|≠0，求A-1，A*，E-A-1的特征值．

设λ0为A的特征值． (1)证明：AT与A特征值相等； (2)求A2，A2+2A+3E的特征值； (3)若|A|≠0，求A-1，A*，E-A-1的特征值．

admin2021-11-15  6
问题 设λ0为A的特征值．
(1)证明：AT与A特征值相等；
(2)求A2，A2+2A+3E的特征值；
(3)若|A|≠0，求A-1，A*，E-A-1的特征值．
选项
答案(1)因为|λE-AT|=|(λE-A)T|=|λE-A|，所以AT与A的特征值相等． (2)因为Aα=λ0α(α≠0)， 所以A2α=λ0Aa=λ02，(A2+2A+3E)α=(λ02+2λ0+3)α， 于是A2，A2+2A+3E的特征值分别为λ02，λ02+2λ0+3． (3)因为|A|=λ1λ2…λn≠0，所以λ0≠0，由Aα=λ0α得A-1α=(1/λ0)α， 由A*Aα=|A|α得A*α=(|A|/λ0)α，又(E-A-1)α=(1-1/λ0)α， 于是A-1，A*，E-A-1的特征值分别为1/λ0，|A|/λ0及1-1/λ0.
解析
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考研数学二

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