设λ0为A的特征值． (1)证明：AT与A特征值相等； (2)求A2，A2+2A+3E的特征值； (3)若|A|≠0，求A-1，A*，E-A-1的特征值．

admin2021-11-15 13

问题设λ₀为A的特征值．
(1)证明：A^T与A特征值相等；
(2)求A²，A²+2A+3E的特征值；
(3)若|A|≠0，求A^-1，A^*，E-A^-1的特征值．

选项

答案(1)因为|λE-A^T|=|(λE-A)^T|=|λE-A|，所以A^T与A的特征值相等． (2)因为Aα=λ₀α(α≠0)，所以A²α=λ₀Aa=λ₀²，(A²+2A+3E)α=(λ₀²+2λ₀+3)α，于是A²，A²+2A+3E的特征值分别为λ₀²，λ₀²+2λ₀+3． (3)因为|A|=λ₁λ₂…λ_n≠0，所以λ₀≠0，由Aα=λ₀α得A^-1α=(1/λ₀)α，由A^*Aα=|A|α得A^*α=(|A|/λ₀)α，又(E-A^-1)α=(1-1/λ₀)α，于是A^-1，A^*，E-A^-1的特征值分别为1/λ₀，|A|/λ₀及1-1/λ₀.

解析

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考研数学二

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