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设幂级数在它的收敛区间内所表示的和函数y=y(x)满足微分方程y"+4xy=0及初始条件y(0)=a,y'(0)=b.求该幂级数的具体表达式(即求an,n=0,1,2,…)及该幂级数的收敛区间.
设幂级数在它的收敛区间内所表示的和函数y=y(x)满足微分方程y"+4xy=0及初始条件y(0)=a,y'(0)=b.求该幂级数的具体表达式(即求an,n=0,1,2,…)及该幂级数的收敛区间.
admin
2019-07-24
28
问题
设幂级数
在它的收敛区间内所表示的和函数y=y(x)满足微分方程y"+4xy=0及初始条件y(0)=a,y'(0)=b.求该幂级数的具体表达式(即求a
n
,n=0,1,2,…)及该幂级数的收敛区间.
选项
答案
幂级数在它的收敛区间内可以逐项求导,于是知,由[*]在它的收敛区间内有[*] 代入所给微分方程,有[*] 为使同类项合并,整理得[*] 即[*] 又由初始条件,代入题给幂级数[*]中,得a
0
=y(0)=a;a
1
=y'(0)=b.再由①式得 a
2
=0, [*] 由上述递推式可推得[*]i62 其中a
0
=a. [*] 其中a
1
=b. a
5
=a
8
=…=a
3k-2
=…=0,k=1,2,…. 于是所求幂级数为 [*] 以上可以看成两个幂级数,容易求得它们的收敛区间都是(-∞,+∞).例如对于第一个幂级数,将其中的x看成一个数,x≠0.这个数项级数后项与相应的前一项之比的极限: [*] 即对任何x≠0都收敛,而当x=0时幂级数只剩一项当然收敛,所以收敛区间为(-∞,+∞),收敛半径R=+∞. 【注】这种题型由于计算量太大,容易做错,不常考,但也考过,例如2007年数学一。用已知幂级数去验证它是某微分方程的解,显得比本题略为容易些,例如2002年数学一。
解析
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考研数学一
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