设区域D是由y＝x，x2＋y2＝2x，x轴所围成的第一象限的部分，求： (Ⅰ)区域D绕x轴旋转所得旋转体的体积； (Ⅱ)区域D绕x＝2旋转所得旋转体的体积．

admin2021-03-16 95

问题设区域D是由y＝x，x²＋y²＝2x，x轴所围成的第一象限的部分，求：
(Ⅰ)区域D绕x轴旋转所得旋转体的体积；
(Ⅱ)区域D绕x＝2旋转所得旋转体的体积．

选项

答案(Ⅰ)如图，区域D绕z轴旋转所得旋转体的体积为 V＝π∫₀¹x²dx＋π∫₁²y²dx＝[*]＋π∫₁²(2x－x²)dx＝π． (Ⅱ)取[x，x＋dx][*][0，1]， dV₁＝2π(2－x)·ydx＝2π(2－x)·xdx ＝2π(2x－x²)dx， V₁＝2π∫₀¹(2x－x²)dx＝[*] 取[x，x＋dx][*][1，2]， dV₂＝2π(2－x)·ydx＝2π(2－x)·[*] V₂＝2π∫₁²(2－x)·[*] ＝2π∫₀¹(1－x)·[*] ＝[*](1－sint－sin²t＋sin³t)dt＝[*] 故所求的体积为 V＝V₁＋V₂＝[*] [*]

解析

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考研数学二

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设区域D是由y＝x，x2＋y2＝2x，x轴所围成的第一象限的部分，求： (Ⅰ)区域D绕x轴旋转所得旋转体的体积； (Ⅱ)区域D绕x＝2旋转所得旋转体的体积．

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