设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,证明:存在ξ∈(a,b),使得f’(、ξ)-2f(ξ)=0.

admin2022-10-12  22

问题 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,证明:存在ξ∈(a,b),使得f’(、ξ)-2f(ξ)=0.

选项

答案令φ(x)=e-2xf(x),由f(a)=f(b)=0得φ(a)=φ(b)=0,由罗尔定理,存在ξ∈(a,b),使得φ’(ξ)=0,而φ’(x)=e-2x[f’(x)-2f(x)]且e-2x≠0,故f’(ξ)-2f(ξ)=0.

解析
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