2. 考研
  3. (2001年)设y=f(x)在(一1，1)内具有二阶连续导数且f"(x)≠0，试证： (I)对于(一1，1)内的任意x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使 f(x)=f(0)+xf[θ(x)x]成立；

(2001年)设y=f(x)在(一1，1)内具有二阶连续导数且f"(x)≠0，试证： (I)对于(一1，1)内的任意x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使 f(x)=f(0)+xf[θ(x)x]成立；

admin2018-03-11  38
问题 (2001年)设y=f(x)在(一1，1)内具有二阶连续导数且f"(x)≠0，试证：
    (I)对于(一1，1)内的任意x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使
                  f(x)=f(0)+xf[θ(x)x]成立；
   
选项
答案(I)因为y=f(x)在(一1，1)内具有二阶连续导数，所以一阶导数存在，由拉格朗日中值定理得，任给非零x∈(一1，1)，存在θ(x)E(0，1)，θ(x)·x∈(一1，1)，使 f(x)=f(0)+xf′[θ(x)·x](0＜θ(x)＜1) 成立。 因为f"(x)在(一1，1)内连续且f"(x)≠0，所以f"(x)在(一1，1)内不变号，不妨设f"(x)＞0，则f′(x)在(一1，1)内严格单调且增加，故θ(x)唯一。 (Ⅱ)方法一：由(I)知f(x)=f(0)+xf′[θ(x)·x](0＜θ(x)＜1)，于是有 [*] 上式两边取极限，再根据导数定义，得 [*] 方法二：由泰勒公式得f(x)=f(0)+f′(0)x+[*]f"(ξ)x2，ο∈(0，x)， 再与(I)中的 f(x)=f(0)+xf′[θ(x)x](0＜θ(x)＜1)， 比较，所以 xf′[θ(x)x]=f(x)一f(0)=f′(0)x+[*]f"(ξ)x2， 约去x，有 f′[θ(x)x]=f′(0)+[*]f"(ξ)x， 凑成 [*] 由于 [*] 所以[*]
解析
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考研数学一

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