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[2001年] 设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程z=h(t)一2(x2+y2)/h(t)(设长度单位为厘米,时间单位为小时).已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少小时
[2001年] 设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程z=h(t)一2(x2+y2)/h(t)(设长度单位为厘米,时间单位为小时).已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少小时
admin
2019-04-08
46
问题
[2001年] 设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程z=h(t)一2(x
2
+y
2
)/h(t)(设长度单位为厘米,时间单位为小时).已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少小时?
选项
答案
(1)设t时刻雪堆体积为V(t),侧面面积为A(t),先求出A(t),V(t). 所求时间只能由h(t)=0求得.为此需建立h(t)所满足的方程,而这可由题设体积减少的速度与侧面积成正比得到,因而还需先求出体积V(t)与侧面面积A(t)的表达式.在t时刻雪堆的形状如图所示,已知侧面方程,即已知曲面∑的方程为 z=h(t)一2(x
2
+y
2
)/h(t), [*] 则 [*] 设雪堆的侧面为∑,其面积为A,则∑在xOy平面上的投影区域 为D
xy
={(x,y)|x
2
+y
2
≤h
2
(t)/2,z=0},则 [*] 因已知截面方程D(z):x
2
+y
2
≤[h
2
(t)一h(t)z]/2,注意到D(z)的面积S(D(z))=π[h
2
(t)一zh(t)]/2,得到 [*] 用“先二后一”的方法得到 V(t)=∫
0
h(t)
dz [*]dxdy=∫
0
h(t)
S(D(t))dz∫
0
h(t)
[*][h
2
(t)一zh(t)]dz =(π/2)[h
3
(t)一h
3
(t)/2]=(π/4)h
3
(t). (2)按题意列出微分方程,写出初始条件. 因体积减少的速度是[*],它与侧面积A(t)成正比(比例系数为0.9),即[*]将A(t)及V(t)的表达式代入,得到 [*] 即 [*] 其初始条件为h(0)=130. ② (3)求解微分方程①,求出h(t)的表达式及所求的t. 解式①易得到h(t)=一13t/10+C.由式②得C=130,于是h(t)=一13t/10+130. 令h(t)=0,得所求的t=100,即高度为130厘米的雪堆全部融化需100小时.
解析
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考研数学一
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