首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
已知3阶矩阵A与3维向量x.使得向量组x,Ax,A2x线性无关,且满足A3x=3Ax一2A2x. (1)记P=(x Ax A2x),求3阶矩阵B,使A=PBP—1; (2)计算行列式|A+E|.
已知3阶矩阵A与3维向量x.使得向量组x,Ax,A2x线性无关,且满足A3x=3Ax一2A2x. (1)记P=(x Ax A2x),求3阶矩阵B,使A=PBP—1; (2)计算行列式|A+E|.
admin
2016-04-11
66
问题
已知3阶矩阵A与3维向量x.使得向量组x,Ax,A
2
x线性无关,且满足A
3
x=3Ax一2A
2
x.
(1)记P=(x Ax A
2
x),求3阶矩阵B,使A=PBP
—1
;
(2)计算行列式|A+E|.
选项
答案
(1)设 [*] 则由AP=PB,得 (Ax A
2
x A
3
x)=(Ax A
2
x 3Ax一2A
3
x)=(x Ax A
2
x)[*] 上式可写成 Ax=a
1
x+b
1
Ax+c
1
A
2
x (1) A
2
x=a
2
x+b
2
Ax+c
2
A
2
x (2) 3Ax—2A
2
x=a
3
x+b
3
Ax+c
3
A
2
x (3) 由于x,Ax,A
2
x线性无关,故 由(1)式可得 a
1
=c
1
=0,b
1
=1 由(2)式可得 a
1
=b
2
=0,c
2
=1 由(3)式可得 a
3
=0,b
3
=3,c
3
=一2 从而 B=[*] (2)由(1)有A=PBP
—1
,故 A+E=PBP
—1
+E=P(B+E)P
—1
两端取行列式,得 |A+E|=|P||B+E||P
—1
|=|B+E=[*]=一4
解析
本题综合考查按列分块矩阵的运算.向量用基向量的线性表示、满秩方阵的概念、方阵乘积的行列式等.注意,当3维向量组x,Ax,A
2
x线性无关时,该向量组就可作为3维向量空间的基,因而任一3维向量都可由该向量组线性表示;另一方面,欲求B使AP=PB,按列表示就是Ap
j
=Pβ
j
(其中p
j
为P之第j列,β
j
=[b
1j
,b
2j
,b
3j
]T为B之第j列(j=1,2,3)),或Ap
j
=(p
1
p
2
p
3
)
=b
1j
p
1
+b
2j
p
2
+b
3j
p
3
由于P可逆,P之列向量组p
1
,p
2
,p
3
为3维空间的基,而上式说明B之第j列(b
1j
,b
2j
,b
3j
)
T
就是向量Ap
j
在这个基下的坐标,故以上两方面说明,本题(1)求矩阵B的本质是求AP的列向量在基p
1
,p
2
,p
3
下的坐标列向量.
本题(1)实际上已说明A与B是相似的,从而知A+E与B+E相似,而相似矩阵有相同的行列式,因而由B+E的行列式就可求出A+E的行列式.注意,一般地有:若A与E相似,则对于任何多项式f(x),有f(A)与f(B)相似.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/85w4777K
0
考研数学一
相关试题推荐
(I)设M和m分别是连续函数f(x)在区间[a,b](b>a)上的最大值和最[*]
设F(u,v)具有一阶连续偏导数,且z=z(x,y)由方程F(,yz)=0所确定.又设题中出现的分母不为零,则()
设y=f(x)有二阶连续导数,且=1,则曲线在x=0对应点处的曲率半径为()
一个容器的内侧是由x2+y2=1(y≤1/2)绕y轴旋转一周而成的曲面,长度单位为m,重力加速度为g(m/s2),水的密度为p(kg/m3)求容器的容积V
设都是线性方程组AX=0的解向量,只要系数矩阵A为().
向量组a1=[0,4,2-k],a2=[2,3-k,1],a3=[1-k,2,3]线性相关,则实数k=__________.
设u=u(x,y,z)是由方程ez+u-xy-yz-zu=0确定的可微函数,求u=u(x,y,z)在点P(1,1,0)处方向导数的最小值.
设(X1,X2,…,X3)(n≥2)为标准正态总体,X的简单随机样本,则().
已知0<P(B)<1,且P[(A1+A2)|B]=P(A1|B)+P(A2|B),则下列选项必然成立的是()
随机试题
现代意义的财产税始创于()
foreigncurrencyreserves
急性失血时,最先出现的代偿反应是
患儿,10岁。课间活动时,突然两眼凝视,呆立不动,呼之不应,持续约10秒后恢复正常。以往有类似发作。考虑为
甲的丈夫强奸了丙,案发后甲多次找到丙,要求丙将强奸说成通奸,并拿出5000元作为给丙的“改口”补偿,丙未同意。甲便将丙拉到家中,强迫丙按照其事先写好的说明是通奸的材料抄写一份并按上指印。丙仍不同意,甲便一直不允许丙离开,4天后丙才被警察解救。关于甲的行为定
国产水准仪按精度不同划分为()个等级。
提高企业经营安全性的途径有()。
在下列描述中,对有效资本市场涵义的描述不正确的是()。
考生文件夹下存在一个数据库文件“samp2.accdb”,里面已经设计好“tCourse”、“tGrade”、“tStudent”三个关联表对象和一个空表“tSinfo”,试按以下要求完成设计:创建一个查询,计算每名学生所选课程的学分总和,并依次显示“
PeopleinthemassadvertisingbusinessandotherswhostudyAmericansocietyhavebeenveryinterestedinthequestion:Whatdo
最新回复
(
0
)